phương trình tiếp tuyến

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x+2}{2x+3}\), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại 2 điểm phân biệt \(A, B\) và tam giác \(OAB\) cân tại gốc toạ độ. (ĐH 2009A).

Chú ý. Nếu đường thẳng \(\Delta\) cắt 2 trục toạ độ \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) thì hệ số góc của \(\Delta\) là \[k=\pm\dfrac{OB}{OA}\]

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;y_0)\) là \[y-y_0=y'(x_0).(x-x_0)\]

Như vậy để viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm ta cần biết \(x_0, y_0, y'(x_0)\).

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-1}\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Giải. Ta có \(y'=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\).

Ta nhớ lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;y_0)\) là \[y-y_0=y'(x_0).(x-x_0)\]

Ở dạng bài toán này đề cho trước \(y'(x_0)=k\). Ta giải phương trình này tìm \(x_0\), từ đó suy ra \(y_0\) để viết phương trình tiếp tuyến.

Chú ý. Cho hai đường thẳng \(d_1: y=k_1x+m_1\) và \(d_2: y=k_2x+m_2\). Ta có

Ta đã biết tiếp tuyến của đường tròn tâm \(I\) tại điểm \(A\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(IA\). Tiếp tuyến của đường tròn cũng là đường thẳng cắt đường tròn tại duy nhất một điểm.

Ta cũng đã biết tiếp tuyến của đường parabol (đồ thị hàm số \(y=ax^2\)) ở lớp 9 là đường thẳng cắt parabol tại duy nhất một điểm.

Tiếp tuyến của đường cong tổng quát mà ta sẽ tìm hiểu sau đây có thể cắt đường cong tại nhiều hơn 1 điểm.