Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định

MỘT SỐ CHÚ Ý

Yêu cầu của đề bài có thể là:

• Tìm \(m\) để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (nếu hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}).\)
• Tìm \(m\) để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định (chẳng hạn hàm \(y=\dfrac{mx+1}{x-2}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash\{2\}.\)

1. Hàm bậc ba

Là hàm số có dạng \(y=ax^3+bx^2+cx+d\), trong đó \(a\ne0\). Đạo hàm \(y'=3ax^2+2bx+c.\) Khi \(a\ne 0\), đạo hàm nếu bằng 0 thì chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm (tối đa 2) nên ta có:

• Hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\) không đổi dấu hay \(\Delta\le0.\)
• Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}\Delta\le0\\a>0\end{cases}\)
• Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}\Delta\le0\\a<0\end{cases}\)
• Nếu trong hệ số \(a\) có chứa tham số \(m\) thì phải xét riêng trường hợp \(a=0\) rồi kiểm tra có thoả mãn đề không.

Xem thêm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu.

2. Hàm nhất biến

Là hàm số dạng \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), với điều kiện \(ad-bc\ne0,\) \(c\ne0,\) \(a\) có thể bằng \(0.\) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash\{x_0\},\) trong đó \(x_0=-\frac{c}{d}.\)

• Hàm số này đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(ad-bc>0.\)
• Nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(ad-bc<0.\)

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y=x^3+mx^2+4x+3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Giải. Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\). Ta có \(y'=3x^2+2mx+4\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases}3>0 \\ \Delta'=m^2-12 \le 0\end{cases} \Leftrightarrow -2\sqrt{3} \le m \le 2\sqrt{3}\]

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(-2\sqrt{3} \le m \le 2\sqrt{3}\).

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=(m-1)x^3-3(m-1)x^2 + 3x +2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Giải. Ta có \(y' = 3(m-1)x^2 - 6(m-1)x+3\)
Nếu \(m=1\) thì \(y'=3>0\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Nếu \(m \neq 1\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases}m-1>0\\ \Delta ' = 9(m-1)^2 - 9(m-1) \leq  0\end{cases} \Leftrightarrow 1 <m \leq 2.\]
Vậy \(1 \leq m  \leq 2.\)

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\dfrac{x+m}{x+1}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Giải. Tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}\backslash\{-1\}.\) Ta có \(y'=\dfrac{1-m}{(x+1)^2}.\)

Nếu \(1-m=0\) thì \(y'=0\quad \forall x\in D\) nên hàm số là hàm hằng và là hàm không đồng biến cũng không nghịch biến.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi \(1-m<0\Leftrightarrow m>1.\)

BÀI TẬP

Bài 1. Xác định giá trị của tham số \(m\) để mỗi hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

1. \(y=x^3+2x^2+2mx+1\)
2. \(y=x^3-3mx^2+(m+2)x-m\)
3. \(y=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{mx^2}{2}+2x+1\)
4. \(y=mx^3+mx^2+(m+1)x-3\)
5. \(y=mx^3+(m-1)x^2+mx+m^2\)

Bài 2. Tìm điều kiện đối với tham số \(m\) để mỗi hàm số sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

1. \(y=\dfrac{-mx+1}{m-x}\)
2. \(y=\dfrac{x+m}{x-m}\)
3. \(y=\dfrac{x+1-m}{x+m}\)
4. \(y=\dfrac{mx+4}{x+m}\)

Bài 3. Chứng minh mỗi hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\) với mọi giá trị của tham số \(m.\)

1. \(y=x^3+3mx^2+3m^2x\)
2. \(y=\dfrac{x^3}{3}+x^2+(m^2+1)x\)
3. \(y=2x^3+3(m+2)x^2+6(m^2+3)x+2m-1\)

Bài 4. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để hàm số

1. \(y=\dfrac{x-3}{x+m+1}\) đồng biến trên \((0;+\infty)\).
2. \(y=\dfrac{x}{x+m}\) nghịch biến trên \((0;2)\).