Công thức độ dài đoạn thẳng nối hai điểm

Công thức. Trong mặt
phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(x_A;y_A)$
và $B(x_B;y_B).$ Độ dài đoạn thẳng $AB$ là
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng
toạ độ $Oxy$, cho $A(1;3)$, $B(2;-2)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Giải.
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{26}.$

Ví dụ 2. Cho đường thẳng
$y=2x+3$ cắt parabol $y=x^2$ tại hai điểm $A, B$. Tính độ dài đoạn thẳng
$AB$.

Giải. Phương trình hoành
độ giao điểm của đường thẳng và parabol đã cho là $x^2=2x+3.$ Phương trình
này có hai nghiệm $x=1; x=3$. Thế 2 giá trị $x$ vừa tìm được vào phương trình
đường thẳng (hoặc parabol) ta được tương ứng $y=1; y=9.$ Vậy ta có 2 giao điểm
là $A(-1;1)$ và $B(3;9)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ là
$AB=\sqrt{(3+1)^2+(9-1)^2}=4\sqrt{5}.$

Ví dụ 3. Cho đường thẳng
$y=-2x+2$ cắt parabol $y=x^2$ tại hai điểm $A, B$. Tính độ dài đoạn thẳng
$AB$.

Giải. Phương trình hoành
độ giao điểm của đường thẳng và parabol đã cho là
$x^2=-2x+2 \Leftrightarrow x^2+2x-2=0.$ Phương trình này có hai nghiệm
phân biệt $x_1; x_2$ nhưng số không đẹp. Bằng cách áp dụng định lý Vi-ét về
nghiệm của phương trình bậc 2, ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng $AB$ một
cách gọn gàng mà không cần viết các nghiệm phức tạp ấy ra.

Giả sử $A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)$, trong đó $y_1=-2x_1+2$ và $y_2=-2x_2+2.$ Ta
có $y_2-y_1=-2(x_2-x_1)$,
$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2-x_1)^2+[(-2)(x_2-x_1)]^2=(1+4)(x_2-x_1)^2$

Ta có $(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2.$

Theo định lý Vi-ét ta có $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2$;
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2.$ Từ đó ta có $(x_2-x_1)^2=(-2)^2-4\cdot (-2)=12.$

Suy ra $AB^2=5\cdot 12=60.$ Vậy $AB=\sqrt{60}=2\sqrt{15}.$

Tổng quát. Cho $A, B$ là
hai điểm trên đường thẳng $d: y=kx+m$, trong đó hoành độ của $A, B$ lần lượt là
$x_1;x_2$ thì ta có công thức tính độ dài $AB$:
$AB=\sqrt{\left(1+k^2\right)(x_2-x_1)^2}.$