Công thức độ dài đoạn thẳng nối hai điểm

Công thức. Trong mặt
phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(x_A;y_A)\)
và \(B(x_B;y_B).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng
toạ độ \(Oxy\), cho \(A(1;3)\), \(B(2;-2)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Giải.
\(AB=\sqrt{(2-1)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{26}.\)

Ví dụ 2. Cho đường thẳng
\(y=2x+3\) cắt parabol \(y=x^2\) tại hai điểm \(A, B\). Tính độ dài đoạn thẳng
\(AB\).

Giải. Phương trình hoành
độ giao điểm của đường thẳng và parabol đã cho là \(x^2=2x+3.\) Phương trình
này có hai nghiệm \(x=1; x=3\). Thế 2 giá trị \(x\) vừa tìm được vào phương trình
đường thẳng (hoặc parabol) ta được tương ứng \(y=1; y=9.\) Vậy ta có 2 giao điểm
là \(A(-1;1)\) và \(B(3;9)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là
\[AB=\sqrt{(3+1)^2+(9-1)^2}=4\sqrt{5}.\]

Ví dụ 3. Cho đường thẳng
\(y=-2x+2\) cắt parabol \(y=x^2\) tại hai điểm \(A, B\). Tính độ dài đoạn thẳng
\(AB\).

Giải. Phương trình hoành
độ giao điểm của đường thẳng và parabol đã cho là
\(x^2=-2x+2 \Leftrightarrow x^2+2x-2=0.\) Phương trình này có hai nghiệm
phân biệt \(x_1; x_2\) nhưng số không đẹp. Bằng cách áp dụng định lý Vi-ét về
nghiệm của phương trình bậc 2, ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng \(AB\) một
cách gọn gàng mà không cần viết các nghiệm phức tạp ấy ra.

Giả sử \(A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)\), trong đó \(y_1=-2x_1+2\) và \(y_2=-2x_2+2.\) Ta
có \(y_2-y_1=-2(x_2-x_1)\),
\[AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2-x_1)^2+[(-2)(x_2-x_1)]^2=(1+4)(x_2-x_1)^2\]

Ta có \((x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2.\)

Theo định lý Vi-ét ta có \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2\);
\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2.\) Từ đó ta có \((x_2-x_1)^2=(-2)^2-4\cdot (-2)=12.\)

Suy ra \(AB^2=5\cdot 12=60.\) Vậy \(AB=\sqrt{60}=2\sqrt{15}.\)

Tổng quát. Cho \(A, B\) là
hai điểm trên đường thẳng \(d: y=kx+m\), trong đó hoành độ của \(A, B\) lần lượt là
\(x_1;x_2\) thì ta có công thức tính độ dài \(AB\):
\[AB=\sqrt{\left(1+k^2\right)(x_2-x_1)^2}.\]