Công thức độ dài đường trung tuyến

Công thức

Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\). Khi đó ta có \[AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}.\]

Chứng minh

Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABM\) ta có

\[\begin{array}{l l l} AM^2 & = & BA^2+BM^2-2.BA.BM.\cos B \\ & = & AB^2+BM^2-2AB.BM.\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC} \\ & = & AB^2+\dfrac{BC^2}{4}-\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2} \\ & = & \dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4} \end{array}\]

Cách viết khác

Cho tam giác \(ABC\) có 3 trung tuyến \(AM, BN, CP.\) Đặt \(AB=c, BC=a, CA=b,\) \(m_a=AM, m_b=BN, m_c=CP.\) Ta có các công thức sau

\[\begin{array}{l} m_a^2=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4} \\ m_b^2=\dfrac{2(c^2+a^2)-b^2}{4} \\ m_c^2=\dfrac{2(a^2+b^2)-c^2}{4} \end{array}\]