Tính chất vectơ của trung điểm

1. Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.\)

Chứng minh. Đây là mệnh đề tương đương nên ta phải chứng minh hai chiều suy ra đều đúng.

• Cho \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), khi đó \(\overrightarrow{IA}\) và \(\overrightarrow{IB}\) là hai vectơ đối nhau nên \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.\)
• Ngược lại, cho \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.\) Suy ra \(\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB},\) nghĩa là vectơ đối của \(\overrightarrow{IB}\) là \(\overrightarrow{IA}.\) Khi đó \(I\) phải là điểm sao cho hai vectơ \(\overrightarrow{IA}\) và \(\overrightarrow{IB}\) ngược hướng và độ dài bằng nhau. Như vậy thì \(I\) phải là trung điểm của \(AB.\)

2. Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.\)

Chứng minh. Ta không chứng minh từng chiều suy ra như ở trên nữa mà biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức (1) đã biết.

\[\begin{array}{ll}&\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\\ \Leftrightarrow&\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}\\ \Leftrightarrow&\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\end{array}\]