Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên là gì?

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập chuyên đề kèm phương pháp giải nhanh chóng và chính xác.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên bao gồm khái niệm, các định lý và bài tập đều sẽ được thayphu tổng hợp chi tiết ngay trong bài viết dưới đây. Từ đó các em dễ dàng theo dõi, ôn tập và thực hành cùng các dạng bài cơ bản thường gặp!

Lý thuyết cơ bản về đường vuông góc và đường xiên

Tìm hiểu về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Khái niệm cần nắm

Từ A không nằm trên d, kẻ 1 đường thẳng vuông góc với d tại H, trên d lấy điểm B không trùng với H. Khi đó:

• Đoạn AH được gọi là đoạn vuông góc hay là đường vuông góc kẻ từ A đến d.
• Đoạn AB được gọi là đường xiên kẻ từ A đến d.
• Đoạn HB được gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng d.

Định lý về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý 1: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

Trong hình vẽ AH vuông góc với a => AH < AB, AH < AC

Định lý về quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

Định lý 2: Trong 2 đường xiên kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì chắc chắn sẽ lớn hơn
• Tương tự, đường xiên nào lớn hơn thì cũng có hình chiếu lớn hơn
• Trường hợp 2 đường xiên bằng nhau thì 2 hình chiếu bằng nhau và ngược lại 2 hình chiếu bằng nhau thì 2 đường xiên bằng nhau.

Trong hình vẽ trên:

AH vuông góc với a, HC > HB => AC > AB

AH vuông góc với a, AC > AB => HC > HB

AB = AC ⇔ HB = HC

Các dạng bài tập về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Sau đây là 2 dạng bài tập cơ bản kèm phương pháp giải chi tiết để hỗ trợ các em làm thực hành:

Các dạng bài tập cơ bản kèm phương pháp giải bài tập về đường vuông góc và hình chiếu

Dạng 1 - So sánh 2 đường xiên hoặc 2 hình chiếu

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý trong 2 đường xiên kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì:

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì chắc chắn lớn hơn
• Tương tự, đường xiên nào lớn hơn thì sẽ có hình chiếu lớn hơn

Thực hiện theo 2 bước:

• B1: Xác định xem 2 đoạn thẳng cần so sánh là đường xiên hay hình chiếu của đường xiên lên đường thẳng. Nếu là đường xiên thì cần so sánh 2 hình chiếu của chúng. Nếu là hình chiếu của 2 đường xiên thì cần so sánh 2 đường xiên.
• B2: So sánh 2 đoạn thẳng dựa vào định lý đường xiên - hình chiếu.

Bài tập 1

Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường cao AH. Lấy M là điểm tùy ý nằm trên đoạn thẳng AH. Hãy chứng minh rằng MB < MC.

Lời giải:

Ta có BH, CH tương ứng là hình chiếu của 2 đường xiên AB, AC trên đường thẳng BC

Vì AB < AC nên BH < CH

Mặt khác BH, CH tương ứng là hình chiếu của 2 đường xiên BM, CM lên đường thẳng BC.

Do BH < CH nên BM < CM

Bài tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy 2 điểm D, E để AD = DE = EB. Hãy chứng minh là CA < CD < CE < CB.

Lời giải:

Xét trên cạnh AB ta có: AD = DE = EB => AD < AE < AB

Vì CA vuông góc với AB nên AD, AE, AB tương ứng là hình chiếu của các đường xiên CD, CE, CB lên đường thẳng AB.

Do AD < AE < AB nên CD < CE < CB (1)

Mặt khác CA < CD (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) (2)

Từ (1) và (2) suy ra CA < CD < CE < CB.

Dạng 2 - Bài tập chứng minh quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ 1 điểm đến cùng 1 đường thẳng.

Bài tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, hãy chứng minh rằng:

AH + BC/2 < AB + AC < AH + BC

Lời giải:

Ta có: AB > AH, AC > AH (bởi vì đường xiên lớn hơn đường vuông góc)

=> AB + AC > AH + AH hay AB + AC > 2AH (1)

Ta cũng có AB > BH, AC > CH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)

=> AB + AC > BH + CH hay AB + AC > BC (2)

Từ (1) và (2) ta có 2(AB + AC) > 2AH + BC => AB + AC > AH + BC/2 (3)

Kẻ EF vuông góc với AC tại F

Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE => Tam giác ABE cân ở B

=> BAE = BEA

Mặt khác BAE = AEF (cùng phụ với EAF ) nên BEA = AEF

=> AHE = AFE (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AH = AF (2 cạnh tương ứng)

Do đó BC + AH = BE + EC + AH = BA + EC + AF

Vì EC > CF (theo lý thuyết đường xiên lớn hơn đường vuông góc) nên

BC + AH > BA + CF + AF hay BC + AH > BA + AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra AH + BC/2 < AB + AC < AH + BC.

Bài tập 2

Cho tam giác nhọn ABC có cạnh AB < cạnh AC. Kẻ AH vuông góc với BC. Trên đoạn thẳng AH lấy điểm M. Chứng minh rằng:

1. AH < (AB + AC)/2
2. BM < CM

Lời giải:

1. Ta có AH vuông góc BC

=> AH là đường vuông góc còn AB là đường xiên => AH < AB (1)

Tương tự AC là đường xiên còn AH là đường vuông góc => AH < AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH + AH < Ab + AC

=> AH < (AB + AC)/2

2. Theo bài ra BH và CH tương ứng là hình chiếu của đường xiên AB và AC lên đường thẳng BC.

Vì AB < AC nên BH < CH

Bên cạnh đó BH và CH là hình chiếu của đường xiên MB và MC trên BC

BH < CH nên MB < MC.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB > AC, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Hãy so sánh BH và CH.

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB < AC) đường cao AH, H thuộc BC. Lấy điểm K bất kỳ thuộc AH (K khác H)

1. Chứng minh rằng HB < HC
2. BK < CK

Bài 3: Ta cho tam giác ABC có điểm D nằm giữa 2 điểm B, C. Điểm H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc từ D xuống các đường thẳng AB, AC. So sánh BC và tổng DH + DK.

Bài 4: Cho tam giác ABC với điểm D nằm giữa B và C (AD không vuông góc với BC). Các điểm H, K là chân các đường vuông góc từ B, C đến đoạn thẳng AD. Hãy chứng minh rằng:

1. AB + AC > BH + CK
2. BH + CK > BC

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, Bm là tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Tại C kẻ Cn vuông góc AC (AB và Cn thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là AC), Cn cắt Bm tại E. Vậy chu vi của 2 tam giác ABD và CDE lớn hơn hay nhỏ hơn?

Vừa rồi là tổng hợp các kiến thức cơ bản về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên cùng các dạng toán thường gặp. Hy vọng rằng các em nắm chắc phương pháp giải để luôn hoàn thành tốt các đề thi nhé!