Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng

Ở bài viết này, chúng ta sẽ đi tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. Có 2 phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1. Vẽ góc dựa vào định nghĩa rồi tính
2. Sử dụng vectơ và tích vô hướng

Dưới đây là các bài tập dùng phương pháp thứ nhất.

Trong tất cả các bài tập tính góc giữa hai đường thẳng, ta kí hiệu góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) là \(\widehat{(a,b)}\).

Bài 1

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\). Biết \(SA=a\), \(SA \bot AD\), \(SB=a\sqrt{3}\), \(AC=a\). Tính góc giữa các cặp đường thẳng: \(SA\) và \(BC\), \(SA\) và \(CD\), \(SB\) và \(AD\), \(SD\) và \(AC\).

Giải

Tính góc giữa SA và BC:

Vì \(BC \parallel AD\) nên \(\widehat{(SA,BC)}=\widehat{(SA,AD)}=90^\circ\).

Tính góc giữa SA và CD:

Vì \(CD \parallel AB\) nên \(\widehat{(SA,CD)}=\widehat{(SA,AB)}\). Để tính \(\widehat{SAB}\) ta dùng định lý cosin trong tam giác \(SAB\). \[\begin{array}{lll}\cos \widehat{SAB} &=&\dfrac{AS^2+AB^2-SB^2}{2AS.AB} \\ &=& \dfrac{a^2+a^2-3a^2}{2a.a} \\ &=& -\dfrac{1}{2} \end{array}\] Suy ra \(\widehat{SAB}=120^\circ\). Từ đó góc giữa \(SA\) và \(CD\) bằng \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

Chú ý. Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù.

Tính góc giữa SB và AD:

Vì \(AD \parallel BC\) nên \(\widehat{(SB,AD)}=\widehat{(SB,BC)}\).

Để tính \(\widehat{SBC}\) ta dùng định lý cosin trong tam giác \(SBC\). Tuy nhiên cần phải tính \(SC\). Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) nên tính được \(SD\). \(ABC\) là tam giác đều nên tính được \(BO\) từ đó tính được \(BD\). Tam giác \(SBD\) biết 3 cạnh nên áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến tính được \(SO\). Biết 2 cạnh và trung tuyến \(SO\) của tam giác \(SAC\) nên tính được cạnh \(SC\).

\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\sqrt{2}\)

\(OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), \(BD=a\sqrt{3}\)

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác \(SBD\)

\(SO^2=\dfrac{SB^2+SD^2}{2}-\dfrac{BD^2}{4}=\dfrac{7a^2}{4}\)

Suy ra \(SO=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác \(SAC\)

\(SO^2=\dfrac{SA^2+SC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}\)

\(\Longrightarrow \dfrac{7a^2}{4}=\dfrac{a^2+SC^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\)

\(\Longrightarrow SC^2=3a^2 \Longrightarrow SC=a\sqrt{3}\).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(SBC\) \[\begin{array}{lll}\cos \widehat{SBC}& =&\dfrac{BS^2+BC^2-SC^2}{2.BS.BC} \\ &=&\dfrac{3a^2+a^2-3a^2}{2a\sqrt{3}.a} \\ &=&\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\end{array}\] \(\Longrightarrow\widehat{BSC} \approx 73^\circ 22'\)

Vậy góc giữa \(SB\) và \(AD\) là \(\approx 73^\circ 22'.\)

Tính góc giữa SD và AC:

Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(CD, AD, SC\), ta có \(SD \parallel MP\), \(AC \parallel MN\) nên \(\widehat{(SD, AC)}=\widehat{(MP, MN)}\).

Để tính \(\widehat{PMN}\), cần phải tính 3 cạnh của tam giác \(MNP\). Ta có \(MP=\dfrac{SD}{2}\) và \(MN=\dfrac{AC}{2}\), như vậy chỉ cần tính thêm \(NP\) và có thể dùng \(NP\) là trung tuyến của tam giác \(SCN\). Tuy nhiên để tính \(SN\) thì cần phải dùng công thức trung tuyến trong tam giác \(SAD\). Ngoài ra \(CN\) là đường cao (cũng làt trung tuyến) của tam giác đều \(ACD\) nên tính được \(CN\).

Ta có \(MP=\dfrac{SD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\), \(MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}\). \(CN\) là đường cao của tam giác đều \(ACD\) nên \(CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). \(SN\) là trung tuyến của tam giác \(SAD\) nên \[\begin{array}{lll}SN^2&=&\dfrac{SA^2+SD^2}{2}-\dfrac{AD^2}{4} \\ &=& \dfrac{a^2+2a^2}{2}-\dfrac{a^2}{4} \\ &=& \dfrac{5a^2}{4}\end{array}\]

\(NP\) là trung tuyến tam giác \(SCN\) nên \[\begin{array}{lll}NP^2&=&\dfrac{SN^2+NC^2}{2}-\dfrac{SC^2}{4} \\ &=& \dfrac{\dfrac{5a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}}{2}-\dfrac{3a^2}{4} \\ &=& \dfrac{a^2}{4}\end{array}\]

Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(MNP\) \[\begin{array}{lll}\cos \widehat{PMN}&=&\dfrac{MP^2+MN^2-NP^2}{2.MP.MN}\\ &=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\]\(\Longrightarrow \widehat{PMN}=45^\circ\).

Vậy góc giữa \(SD\) và \(AC\) là \(45^\circ\).

Nhận xét: Lời giải trên đây khá dài dòng và phải dùng định lý cosin và công thức trung tuyến ở nhiều chỗ. Trong bài viết tính góc giữa hai đường thẳng bằng phương pháp vectơ ta sẽ có lời giải gọn hơn.