Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa

Trong không gian (hoặc trong mặt phẳng) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Lấy \(O\) là một điểm bất kì, gọi \(A\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) và \(B\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Khi đó góc góc \(\widehat{AOB}\) gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), kí hiệu là \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)\).

Nhận xét

• \(0^\circ \leq \big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big) \leq 180^\circ\).
• \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)=0^\circ\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
• \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)=180^\circ\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng.
• \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)=90^\circ\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) gọi là vuông góc với nhau.

Chú ý

Trong định nghĩa thì \(O\) được lấy tuỳ ý. Tuy nhiên, trong lúc giải toán ta có thể chọ \(O\) trùng với điểm gốc của vectơ \(\overrightarrow{a}\) hoặc \(\overrightarrow{b}\) cho đơn giản.

Ví dụ. Cho tam giác đều \(ABC,\) gọi \(H\) là trung điểm \(BC.\) Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

1. \(\overrightarrow{AH}\) và \(\overrightarrow{BC}\)
2. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CA}\)
4. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AH}\)
5. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{HA}\)
6. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\)