Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác và bài tập áp dụng

Kiến thức cần nhớ về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, hai dạng toán thường gặp kèm phương pháp giải chi tiết và bài tập vận dụng dễ hiểu nhất.

Hình tam giác là một hình học quen thuộc và có nhiều công thức các em cần nhớ để làm bài tập. Trong đó quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác sẽ được thayphu tổng hợp và trình bày ngay trong bài viết sau đây, cùng theo dõi chi tiết nhé!

Lý thuyết cơ bản về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Kiến thức về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Toán 7

Bất đẳng thức tam giác

Xét trong một tam giác, tổng độ dài của 2 cạnh bất kỳ bao giờ cũng sẽ lớn hơn độ dài của cạnh còn lại.

Cho tam giác ABC, ta sẽ được các bất đẳng thức sau:

• AB + AC > BC hay b + c > a
• AB + BC > AC hay c + a > b
• AC + BC > AB hay b + a > c

Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, hiệu độ dài 2 cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Khi xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài của 2 cạnh trong 1 tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được trình bày như sau:

Trong một tam giác, độ dài của 1 cạnh bao giờ cũng sẽ lớn hơn hiệu và sẽ nhỏ hơn tổng các độ dài của 2 cạnh còn lại.

Xét tổng và hiệu của các cạnh trong một tam giác

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC, với cạnh BC ta sẽ được:

|AC - AB| < BC < AC + AB hay |b - c| < a < b + c

Các dạng toán cơ bản về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Toán 7

Qua phần lý thuyết cơ bản ở trên, chúng ta hãy cùng thực hành ngay với 2 dạng toán thường gặp về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác:

Dạng 1 - Sử dụng điều kiện tồn tại một tam giác dựa vào yếu tố độ dài 3 cạnh

Phương pháp giải:

Xét ba đoạn thẳng a, b, c tạo nên một tam giác nếu

• a < b + c
• b < a + c
• c < a +b

Hoặc |b - c| < a < b + c

Nếu như ta xác định được a là số lớn nhất trong 3 số a, b, c thì điều kiện tồn tại tam giác chỉ cần a < b + c.

• Bước 1: Ứng dụng bất đẳng thức tam giác ta xét các trường hợp:
  • a < b + c
  • b < a + c
  • c < a +b

Hoặc |b - c| < a < b + c

• Bước 2: Tiến hành lựa chọn giá trị thích hợp và giải

Bài tập 1

Cho tam giác ABC cân, hãy tính AC, BC biết chu vi tam giác ABC là 23cm và AB = 5cm.

Lời giải:

• Nếu AB là cạnh bên và tam giác ABC cân tại A thì ta có:

AB = AC = 5cm

Do chu vi tam giác ABC bằng 23cm nên:

BC = 23 - (AB + AC) = 23 - (5 + 5) = 13cm

=> BC - AB = 13 - 5 = 8 > 5 = AC hay BC - AB > AC

(trường hợp này không thỏa mãn)

• Nếu AB là cạnh bên và tam giác ABC cân tại B thì ta có:

AB = BC = 5cm => AC = 13cm

Ta lại có AC - AB > BC (13 - 5 > 5) (trường hợp này không thỏa mãn)

• Nếu AB là cạnh đáy thì tam giác ABC cân tại C

=> AC = BC = (23 - 5) : 2 = 9cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy AB = BC = 9cm.

Bài tập 2

Cho tam giác MNP với 2 cạnh MN = 1cm, NP = 3cm. Hãy tìm độ dài cạnh MP biết rằng độ dài này là 1 số nguyên (cm). Tam giác MNP là tam giác gì?

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh MP là x (cm) với x > 0

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác MNP thì:

|MN - NP| < MP < MN + NP

|1 - 3| < x < 1 + 3 ⇔ 2 < x < 4

Vì x là số nguyên nên x = 3

Vậy độ dài cạnh MP = 3cm

Ta có MP = NP = 3cm nên suy ra tam giác MNP cân tại P.

Dạng 2 - Tiến hàng chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến độ dài

Phương pháp giải: Chúng ta áp dụng bất đẳng thức tam giác cùng với các biến đổi về bất đẳng thức.

Cộng cùng 1 số vào 2 vế của bất đẳng thức a < b => a + c < b + c. Hay tiến hành cộng từng vế 2 bất đẳng thức cùng chiều

• a < b
• c < d

=> a + c < b + d

Bài tập 1

Cho tam giác ABC với điểm M là trung điểm của BC, hãy chứng minh rằng

|(AB - AC) / 2| < AM < (AB + AC) / 2

Lời giải:

Lấy điểm D nằm trên đoạn AM sao cho AM = MD

Tiến hành xét 2 tam giác AMB và DMC ta thấy:

AM = MD, AMB = DMC (đối đỉnh), BM = MC (giả thiết)

Do đó tam giác AMB = tam giác DMC (c.g.c)

=> AB = DC (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACD ta có:

|DC - AC| < AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác)

Do AB = DC (chứng minh trên), AD = 2AM nên ta có:

|AB - AC| < 2AM < AB + AC

Kết luận |(AB - AC) / 2| < AM < (AB + AC) / 2

Bài tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 3cm, AC = 4cm và I là trung điểm của AC. Cho d là đường trung trực của đoạn AC và điểm M tùy ý trên d.

1. Chứng minh rằng MA + MB >= 5
2. Hãy xác định điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

1. Đầu tiên tiến hành xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

AB^2 + AC^2 = BC^2 (định lý Pitago)

=> 3^2 + 4^2 = BC^2

=> 5^2 = BC^2 => BC = 5

Xét tam giác AMI và CMI ta có:

MIA = MIC = 90 độ (MI là trung trực của AC)

AI = CI (giả thiết), MI là cạnh chung

Do đó tam giác AMI = tam giác CIM (2 cạnh góc vuông)

=> MA = MC (2 cạnh tương ứng)

=> MA + MB = MC + MB

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác BMC ta có:

MB + MC >= BC = 5 => MA + MB >= 5

2. Vì MA + MB >= 5 (chứng minh trên) nên MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi

MA + MB = BC.

Tức là khi và chỉ khi M nằm trên đoạn BC

=> M trùng với J, với J là giao điểm của d và BC.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Bộ ba độ dài nào sau đây có thể là 3 cạnh của 1 tam giác?

1. 3cm, 4cm, 5cm
2. 2m, 3m, 6m

Bài 2: Hãy tìm chu vi tam giác cân ABC biết rằng:

1. AB = 7cm, AC = 13cm
2. AB = 5m, AC = 12m

Bài 3: Cho tam giác OBC cân tại O. Trên tia đối của tia CO ta lấy điểm A, hãy chứng minh rằng AB > AC.

Bài 4: Cho góc nhọn xOy, trên Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A nằm giữa 2 điểm O và B). Trên Oy lấy 2 điểm C và D (điểm C nằm giữa O và D). Chứng minh AB + CD < AD + BC.

Bài 5: Cho tam giác ABC biết rằng AB < AC và AD là phân giác góc A, lúc này D thuộc BC. Gọi E là 1 điểm bất kỳ thuộc cạnh AD (E khác A). Hãy chứng minh rằng AC - AB > EC - EB.

Trên đây là các công thức lý thuyết cùng dạng toán về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Các em cùng ôn tâm và tham khảo phương pháp giải cho từng dạng để hoàn thành tốt mọi bài tập được giao nhé!