Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm dương, âm, trái dấu

Mời các em xem lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Các em nhớ nhấn SUBCRIBE (ĐĂNG KÍ) trong youtube để nhận thông báo khi có video bài học mới nhé!

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0.\)

Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thì \[\begin{cases}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}\]

(ta có thể dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để chứng minh hệ thức này)

Điều kiện để có nghiệm dương, âm, trái dấu

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: \[x_1x_2<0\Leftrightarrow ac<0\] (không cần điều kiện \(\Delta >0\), bởi vì khi \(ac<0\) thì \(b^2-4ac>0\)). Chú ý, ta có thể dùng \(P<0 \Leftrightarrow \dfrac{c}{a}<0.\) Nhớ rằng \(\dfrac{c}{a}<0 \Leftrightarrow a.c<0.\)
• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: \[0<x_1<x_2\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{cases}\]
• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt: \[x_1<x_2<0\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta>0\\S<0\\P>0\end{cases}\]
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu : \[\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta>0\\P>0\end{cases}\]

Nếu chỉ yêu cầu hai nghiệm mà không cần phân biệt thì ta thay bằng \(\Delta \ge 0\).

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-5mx-3m+2=0\) có hai nghiệm trái dấu.

Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(1.(-3m+2)<0 \Leftrightarrow m>\dfrac{2}{3}.\)

Ví dụ 2. Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-x+2(m-1)=0\) có hai nghiệm dương phân biệt.

Giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\(\begin{cases} \Delta > 0 \\ S>0 \\ P>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1-8(m-1)>0 \\ 1>0 \\ 2(m-1)>0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}m<\dfrac{9}{8} \\ m>1\end{cases} \Leftrightarrow 1<m<\dfrac{9}{8}.\)

Ví dụ 3. Tìm \(m\) để phương trình \(4x^2+2x+m-1=0\) có hai nghiệm âm phân biệt.
Giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
\(\begin{cases} \Delta' > 0 \\ S<0 \\ P>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1-4(m-1)>0 \\ -\dfrac{2}{4}<0 \\ \dfrac{m-1}{4}>0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}m<\dfrac{5}{4} \\ m>1\end{cases} \Leftrightarrow 1<m<\dfrac{5}{4}.\)

Ví dụ 4. Tìm \(m\) để phương trình \((m^2+1)x-2(m+1)x+2m-1=0\) có hai nghiệm trái dấu.
Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(a.c<0\)
\((m^2+1)(2m-1)<0 \Leftrightarrow 2m-1<0\) (vì \(m^2+1>0 \; \forall m\)).
\(\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{2}\)

Các khác: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
\(P<0 \Leftrightarrow \dfrac{2m-1}{m^2+1}<0 \Leftrightarrow 2m-1<0\) (vì \(m^2+1>0 \; \forall m\)).
\(\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{2}.\)