Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số thực được xác định như sau.

\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\big|\overrightarrow{a}\big|.\big|\overrightarrow{b}\big|.\cos \big(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\big)\]

Tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với chính nó gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\) và kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^2\). Ta có

\[\overrightarrow{a}^2=\big|\overrightarrow{a}\big|^2\]

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Khi đó

\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}\]

Tính chất

• \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\)
• \(\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\)
• \(\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\)
• \(\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\)
• \(\overrightarrow{a}^2\ge0;\) \(\overrightarrow{a}^2=0\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.\)

Nhận xét

• \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
• \(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2-2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
• \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2\)

Ví dụ. Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a,\) gọi \(H\) là trung điểm \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:

1. \(\overrightarrow{AH}\) và \(\overrightarrow{BC}\)
2. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CA}\)
4. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AH}\)
5. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{HA}\)
6. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\)