Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, lý thuyết và bài tập

Lý thuyết quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Tìm hiểu 2 dạng toán thường gặp và cách vận dụng lý thuyết để giải bài tập.

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác là kiến thức trong chương trình Toán 7 mà các em cần nắm. Bài viết sau đây thayphu sẽ tổng hợp các nội dung về lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập cùng ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu nhất!

Lý thuyết về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

quan he giua goc va canh doi dien 1 jpg

Tìm hiểu về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác

Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong 1 tam giác

Định lý 1: Trong 1 tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

quan he giua goc va canh doi dien 2 jpg

Ví dụ: Cho ABC (AC > AB), khi đó:

  • Cạnh AB là cạnh đối diện với góc C
  • Cạnh AC là cạnh đối diện với góc B

AC > AB => B > C

Cạnh đối diện với góc lớn hơn trong 1 tam giác

Định lý 2: Trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: Trong ABC có:

  • Góc C là góc đối diện với cạnh AB
  • Góc B là góc đối diện với cạnh AC

B > C => AC > AB

Chú ý:

  • Đối diện với cạnh là góc mà đối diện với góc là cạnh
  • Trong tam giác tù hoặc tam giác vuông thì góc tù và góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (cạnh huyền), cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
  • Định lý 1 và 2 chỉ đúng khi ta áp dụng trong 1 tam giác.
  • Trong tam giác cạnh nhỏ nhất đối diện với góc nhọn.

Các dạng bài về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Sau khi tìm hiểu về lý thuyết, chúng ta sẽ cùng xem có bao nhiêu dạng bài tập liên quan đến góc và cạnh đối diện trong tam giác:

quan he giua goc va canh doi dien 3 jpg

Các dạng bài tập liên quan đến góc và cạnh trong một tam giác

Dạng 1 - So sánh các góc trong một tam giác

Phương pháp giải:

  • Trường hợp 1: Nếu các góc cần so sánh nằm trong cùng 1 tam giác thì ta áp dụng định lí 1: “So sánh các cạnh đối diện với các góc đó”.
  • Trường hợp 2: Nếu các góc cần so sánh không cùng nằm trong 1 tam giác thì ta dùng góc trung gian để so sánh.

Bài tập 1

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E. So sánh góc DBC và ECB.

Lời giải:

quan he giua goc va canh doi dien 4 jpg

Xét ABC có AB < AC => ACB < ABC (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

DBC có DBC = 90 độ - ACB (1) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

ECB có ECB = 90 độ - ABC (2) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Ta lại có: ACB < ABC (giả thiết) (3)

Từ (1) (2) (3) => DBC > ECB

Bài tập 2

Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi M là trung điểm của BC. Hãy chứng minh MAB > MAC

Lời giải:

quan he giua goc va canh doi dien 5 jpg

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho AM = ME

ABM = ECM (c.g.c)

=> AB = EC (2 cạnh tương ứng)

=> BAM = CEM (2 góc tương ứng) (1)

Xét AEC có CE < AC (vì EC = AB < AC)

=> EAC < AEC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) => MAB > MAC (đpcm)

Bài tập 3

Cho ABC đều, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = ⅓ BC. Chứng minh rằng BAM < 20 độ.

Lời giải:

quan he giua goc va canh doi dien 6 jpg

Gọi N là điểm trên BC sao cho BM = MN = NC

ABC đều nên BAC = ABC = ACB = 60 độ

ABM = ACN (c.g.c)

=> BAM = CAN (2 góc tương ứng)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho AM = ME

ABM = ENM (c.g.c)

=> AB = EN (2 cạnh tương ứng)

ABM có B = 60 độ, BAM < 30 độ

(Vì ABC đều BM = ⅓ BC => BM < BC/2 nên BAM < 30 độ)

=> AMB > 90 độ

=> ABM < AMB => AM < AB (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

EN > AM mà AM = AN (ABM = ACN)

=> EN > AN hay EAN > AEN => MAN > BAM

Mà BAM + MAN + NAC = 60 độ => MAN + 2BAM = 60 độ

Mặt khác MAN > BAM => 3 BAM < 60 độ => BAM < 20 độ (đpcm)

Dạng 2 - So sánh các cạnh trong 1 tam giác

Phương pháp giải:

  • Trường hợp 1: Nếu các cạnh cần so sánh nằm trong cùng 1 tam giác thì ta áp dụng định lý 2: So sánh các góc đối diện với các cạnh đó.
  • Trường hợp 2: Nếu các góc cần so sánh không cùng nằm trong 1 tam giác thì ta dùng góc trung gian để so sánh.

Bài tập 1

So sánh các cạnh của ABC, biết A = 45 độ, B = 55 độ

Lời giải:

ABC có A = 45 độ, B = 55 độ

Mà A + B + C = 180 độ (tổng 3 góc của 1 tam giác)

=> 45 độ + 55 độ + C = 180 độ => C = 180 độ - (45 độ + 55 độ) = 80 độ

=> C > B > A (vì 80 độ > 55 độ > 45 độ)

=> AB > AC > BC (định lý 2)

Bài tập 2

So sánh các cạnh của ABC vuông tại A biết B = 55 độ

Lời giải:

ABC vuông tại A có A = 90 độ, B = 55 độ

Mà B + C = 60 độ => C = 90 độ - 55 độ = 35 độ

=> A > B > C (vì 90 độ > 55 độ > 35 độ)

=> BC > AC > AB (định lý 2)

Bài tập 3

So sánh các cạnh của ABC biết rằng A = 40 độ và số đo các góc B, C tỉ lệ với 3, 4.

Lời giải:

Ta có: ABC biết rằng A = 40 độ và số đo góc B, C tỉ lệ 3, 4

A + B + C = 180 độ (tổng 3 góc của 1 tam giác)

=> 40 độ + B + C = 180 độ => B + C = 180 độ - 40 độ = 140 độ

Do đó: B/3 = C/4 = (B + C) / (3 + 4) = 140 độ / 7 = 20 độ

=> B = 3. 20 độ = 60 độ, C = 4. 20 độ = 80 độ

=> A < B < C (40 độ < 60 độ < 80 độ)

=> BC < AC < AB (định lý 2)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. So sánh HAB và HAC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB < AC và AD là tia phân giác của góc A (D thuộc BC). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) và gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng tia AD nằm giữa 2 tia AH và AM.

Bài 3: So sánh các cạnh của tam giác ABC biết

  1. Góc A = 40 độ, góc B = 50 độ
  2. Góc ngoài tại đỉnh A bằng 120 độ và góc B = 54 độ
  3. Tam giác ABC cân tại A và góc A > 60 độ
  4. Số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 2, 3, 4

Bài 4: Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ, góc C = 30 độ. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho góc ABD = 20 độ. So sánh độ dài các cạnh của tam giác BDC.

Bài 5: Tam giác ABC có AB < AC. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh MD với ME.

Vừa rồi là tổng hợp lý thuyết trong quan hệ giữa góc và cạnh đối diện của tam giác. Các dạng bài tập cơ bản kèm phương pháp giải và bài tập cho các em tự luyện. Hãy cùng thực hành giải toán để nắm vững và ghi nhớ tốt hơn nhé!

Cùng chuyên mục:

Cách vẽ hình bằng phần mềm Geogebra, áp dụng bài tập cụ thể

Cách vẽ hình bằng phần mềm Geogebra, áp dụng bài tập cụ thể

Vẽ hình bằng phần mềm Geogebra có khó không? Ứng dụng vẽ hai đường thẳng…

Biến cố là gì? Xác định các loại biến cố và bài tập liên quan

Biến cố là gì? Xác định các loại biến cố và bài tập liên quan

Biến cố là gì? Đây là các sự việc, hiện tượng xảy trong tự nhiên,…

Xác suất biến cố là gì? Các bài tập chọn lọc và lời giải

Xác suất biến cố là gì? Các bài tập chọn lọc và lời giải

Xác suất biến cố là gì? Là khả năng xảy ra của 1 biến cố…

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên là gì?

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên là gì?

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, tóm tắt lý thuyết và các…

Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác và bài tập áp dụng

Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác và bài tập áp dụng

Kiến thức cần nhớ về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, hai…

Sự đồng quy của 3 đường trung trực, lý thuyết và các bài tập

Sự đồng quy của 3 đường trung trực, lý thuyết và các bài tập

Lý thuyết và các dạng toán thường gặp về sự đồng quy của 3 đường…

Cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số cực hay và bài tập

Cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số cực hay và bài tập

Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi 1 điểm trên trục số. Xem ngay…

Số hữu tỉ là gì? Các phép toán cơ bản và bài tập vận dụng

Số hữu tỉ là gì? Các phép toán cơ bản và bài tập vận dụng

Số hữu tỉ là gì? Bài tập về số hữu tỉ sẽ bao gồm các…

MỚI CẬP NHẬT
Top