Bạn đang ở đây

giới hạn của dãy số

HS hỏi bài: Giới hạn của dãy số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T7, 18/02/2017 - 6:03ch

Câu hỏi của một bạn:

\[\begin{array}{ll}&\lim\dfrac{(2n\sqrt{n}+1)(\sqrt{n}+3)}{(n+1)(n+2)}\\ =&\lim\dfrac{n\sqrt{n}\left(2+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\right)\sqrt{n}\left(1+\dfrac{3}{\sqrt{n}}\right)}{n^2\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}\\ =&\lim\dfrac{\left(2+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\right)\left(1+\dfrac{3}{\sqrt{n}}\right)}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}\\=&2\end{array}\]

Định lý giới hạn kẹp

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:54sa

Định lý. Cho các dãy số \((u_n), (v_n), (w_n)\) thỏa điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) và \(\lim u_n = \lim w_n = a.\) Khi đó dãy số \((v_n)\) có giới hạn và \(\lim v_n =a.\)

Chú ý. Điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) có thể được thay bằng điều kiện \(\exists n_0 \in \mathbb{N} \; : u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge n_0\) thì định lý vẫn còn đúng.

Áp dụng.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:48sa

Một cấp số nhân có công bội \(q\) gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu \(|q|<1.\)

Cho cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1,\) công bội \(q.\) Đặt \[S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\]

Ta đã biết tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân trên là \[S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}\]

Vì \(|q|<1\) nên \(\lim q^n=0.\) Từ đó ta có \[\lim S_n=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Vậy cấp số nhân lùi vô hạn có giới hạn của tổng tất cả số hạng của nó là \[S=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Tính giới hạn của dãy số bằng nhân lượng liên hợp

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:26sa

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

  1. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\)
  2. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)\)
  3. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}-2n\right)\)
  4. \(\lim\left(\sqrt{9n^2+n}-3n+2\right)\)
  5. \(\lim\left(2n-1-\sqrt{4n^2+9n}\right)\)
  6. \(\lim\left(2n-1+\sqrt{4n^2+9n}\right)\)

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

Định nghĩa giới hạn của dãy số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T2, 22/02/2016 - 10:19ch

Tư tưởng giới hạn được cho là đã xuất hiện từ thời cổ. Tuy có tồn tại ngầm ẩn trong một số phép toán nhưng chủ yếu là trong triết học. Từ khoảng thế kỷ XVII, toán học phát triển, khái niệm giới hạn mới thực sự hình thành. Khi làm việc với phép toán giới hạn, ta cần có một sự tưởng tượng trong đầu. Những hình ảnh biểu diễn hình học của dãy số và những đồ thị thật sự là yếu tố giúp ta tưởng tượng tốt nhất.

Định nghĩa dãy số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T2, 22/02/2016 - 9:35ch

Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(\mathbb{N}^{*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

\[\begin{array}{r l}u: & \mathbb{N}^* \longrightarrow \mathbb{R} \\ & n \longmapsto u(n) \end{array}\]

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: \(u_1,u_2,\dots,u_n,\dots\), trong đó \(u_n=u(n)\), \(u_1\) gọi là số hạng đầu, \(u_n\) là số hạng thứ \(n\) và được gọi là số hạng tổng quát của dãy số. \((u_n)_n\) là kí hiệu cho một dãy số.

Đăng kí nhận RSS - giới hạn của dãy số