sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

MỘT SỐ CHÚ Ý

Yêu cầu của đề bài có thể là:

• Tìm \(m\) để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (nếu hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}).\)
• Tìm \(m\) để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định (chẳng hạn hàm \(y=\dfrac{mx+1}{x-2}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash\{2\}.\)

1. Hàm bậc ba

Định lý. Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b).\)

• Nếu \(f'(x)>0 \quad \forall x\in (a;b)\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \((a;b).\)
• Nếu \(f'(x)<0 \quad \forall x\in (a;b)\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((a;b).\)

Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=\dfrac{x^3}{3}-x^2-3x-1.\)

Giải. Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có \(y'=x^2-2x-3.\)

Bài 1. Tìm \(m\) để hàm số \(y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1\) đồng biến trên \((2;+\infty).\)

Giải. Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có \(y'=6x^2-6(2m+1)x+6m(m+1).\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=m\\x=m+1\end{array}\right.\)

Định nghĩa. Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(D\) và \((a;b)\) là một khoảng con của \(D.\)