Bất đẳng thức Mincopxki: Lý thuyết và các bài tập chọn lọc

Bất đẳng thức Mincopxki ứng dụng giải các bài tập bất phương trình, bất đẳng thức. Cách giải các dạng toán và thực hành cùng các bài tập tự luyện.

Bất đẳng thức Mincopxki là phần kiến thức quan trọng mà các em được học trong chương trình Toán lớp 9. Bài học hôm nay thayphu sẽ chia sẻ đầy đủ các nội dung về lý thuyết, cách giải các dạng bài tập cụ thể và các bài tập tự luyện cho các em cùng tham khảo, hãy cùng bắt đầu ngay nhé!

Lý thuyết về bất đẳng thức Mincopxki

Tìm hiểu về bất đẳng thức Mincopxki Toán lớp 9

Dạng tổng quát

Cho 2 dãy số thực là a1, a2,..., an và b1, b2,..., bn, ta sẽ luôn có:

a12 + b12 + a22 + b22 + … an2 + bn2 >= (a1 + a2 + ... + an)2 + (b1 + b2 + ... + bn)2

Dấu bằng ở bất đẳng thức trên xảy ra khi mà: a1/b1 = a2/b2 = … an/bn

Theo quy ước: Nếu b1 = 0 thì a1 = 0 tương tự với b2, b3, … bn

Dạng cụ thể

Dạng 1: Cho a, b, c và d đều thuộc R, ta có:

a2+ b2 + c2+ d2 >= (a+c)2+ (b + d)2

Dấu bằng xảy ra trong trường hợp: a/b = c/d

Dạng 2: Cho a, b, c, d, e, f đều thuộc R, ta có:

a2+ b2 + c2+ d2 = e2+ f2 >= (a + c + e)2+ (b + d+ f)2

Dấu bằng xảy ra trong trường hợp là a/b = c/d = e/f

Ví dụ minh họa

Hãy chứng minh rằng với mọi a, b, x, y đều thuộc R ta sẽ luôn có bất đẳng thức sau:

a2+ x2 + b2+ y2 >= (a + b)2+(x+y)2

Lời giải:

Chúng ta sẽ tiến hành bình phương 2 vế và biến đổi tương đương:

a2+ x2 + b2+ y2 >= (a + b)2+(x+y)2

⇔ a^2 + x^2 + b^2 + y^2 + 2(a2+ x2)(b2+ y2) >= a^2 + x^2 + b^2 + y^2 + 2ab + 2xy

⇔ 2(a2+ x2)(b2+ y2) >= 2ab + 2xy

⇔ a2+ x2 + b2+ y2 >= ab + xy (1)

• Trường hợp ab + xy <= 0 thì (1) luôn đúng
• Trường hợp ab + xy > 0 thì (1) ⇔ (a^2 + x^2) (b^2 + y^2) >= (ab + xy)^2

⇔ (bx - ay)^2 >= 0 luôn đúng.

Như vậy dấu bằng của bất đẳng thức sẽ xảy ra khi bx = ay

Lưu ý: Chúng ta có thể chứng minh bất đẳng thức ở trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức vecto:

Ta đặt: vecto u = (a; x) và vecto v = (b; y), lúc đó vecto u + vecto v = (a + b; x + y)

Từ bất đẳng thức vecto |vecto u + vecto v| <+ |vecto u + vecto v| và công thức độ dài vecto có được điều phải chứng minh.

Với a, b, c, x, y, x đều thuộc R, nếu áp dụng 2 lần bất đẳng thức đã cho ta có bất đẳng Mincopxki cho 6 số có dạng như sau:

a2+ x2 + b2+ y2 + c2+ z2 >= (a + b + c)2+(x+y + z)2

Các dạng bài tập liên quan đến bất đẳng thức Mincopxki

Trên đây là phần lý thuyết về bất đẳng thức Mincopxki, để hiểu rõ hơn chúng ta cùng thực hành chi tiết với các dạng bài tập thường gặp như sau:

Dạng 1 - Giải bài tập bất phương trình

Phương pháp giải: Chúng ta chỉ cần ứng dụng ngay bất đẳng thức Mincopxki để chứng minh: (b2+ 2a2) / ab + (c2+ 2b2) / bc + (a2+ 2c2) / ca >= 3

Ví dụ minh họa: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc

Lời giải:

Biến đổi giả thiết: ab + bc + ca = abc ⇔ 1/a + 1/b + 1/c = 1

Ta có: (b2+ 2a2) / ab + (c2+ 2b2) / bc + (a2+ 2c2) / ca

= 1/a2+ 2/b2 + 1/b2+ 2/c2 + 1/c2+ 2/a2

Ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki vào phương trình ta có:

1/a2+ (2/b)2 + 1/b2+ (2/c)2 + 1/c2+ (2/a)2 >= (1/a + 1/b + 1/)2 + 2(1/a + 1/b + 1/c)2 = 1

=> b2+ 2a2 / ab + c2+ 2b2 / bc + a2+ 2c2 / ac >= 3

Dạng 2 - Giải bài tập về số phức

Ví dụ minh họa:

Cho số phức: z = a + bi (với a, b thuộc R) và thỏa mãn |z - 4 - 3i| = |z - 2 + 1|

Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

P = a^2 + b^2 khi |z + 1 - 3i| + |z - 1 + i| đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Theo bài ra ta có:

(a - 4)^2 + (b - 3)^2 = (a - 2)^2 + (1 - b)^2 ⇔ b = 5 - a

|z + 1 - 3i| + |z - 1 + i| = (a + 1)2+ (b - 3)2 + (a-1)2 + (b + 1)2

= (a+1)2 + (2-a)2 + (a -1)2+ (6 - a)2

= 2a2 - 2a + 5 + 2a2+ 14a + 37

= (1/2-2 a )^2 + (9/2)^2 + (2a-7/2 )^2 + (25/2)2

= (1/2-2 a + 2 a - 7/2)^2 + (9/2 + 25/2)^2 = 52

Dấu bằng của biểu thức xảy ra khi:

(1/2 - 2a) / (2a - 7/2) = 9/2 / 25/2 ⇔ a = 13/8 và b = 27/8

=> P = (13^2 + 27^2) / 8^2 = 449/32

Dạng 3 - Giải bài tập hình học tọa độ

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x -1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 25 và 2 điểm là A (7;9;0) và B (0;8;0). Điểm M là 1 điểm di động trên mặt cầu (S), hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + 2MB.

Lời giải:

Với điểm M (x; y; z) thuộc (S) => (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 25

Lúc đó ta có:

MA + 2MB = (x - 7)2+ (y - 9)2+ z2 + 2x2+ (y -8)2 + z2

= (x - 7)2+ (y - 9)2+ z3 + 3[(x- 1)2+ (y-1)2+z2 -25] + 2x3+ (y -8)2 + z2

= 2[(5/2-x)2+ (3-y)2+ (-z)2 + x2+ (y -8)2 + z2]

>= 2[(5/2-x+x)2+ (3-y+8-y)2+ (-z+z)2 = 55

Dấu bằng của biểu thức xảy ra khi:

• (5/2 - x) / x = (3 - y) / (y - 8) = k > 0 ⇔ x = 1
• z = 0 ⇔ y = 6 ⇔ M (1;6;0)
• (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 25 ⇔ z = 0

Bài tập tự luyện về bất đẳng thức Mincopxki

Bài 1: Cho số phức z = x + yi (x, y thuộc R), khi biểu thức P = |z - 1| + |z + 1| + ½ |z - z - 4i| đạt giá trị nhỏ nhất thì x^2 + 3y^2 bằng bao nhiêu?

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 81 và 2 điểm là M (4; -4; 2) và N (6; 0; 6). Gọi E là điểm thuộc (S) sao cho EM + EN đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm E cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?

Bài 3: Xét các số phức z = x + yi (với x, y thuộc R) thỏa mãn |z + 2 - 4i| + |z - 3 + i| = 52. Khi biểu thức P = |z + i| + |z - 3 - 3i| đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng x + y bằng bao nhiêu?

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm là A (1; -3; 2) và B (-2; 1; -4). Xét 2 điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN = 4. Hãy tìm giá trị lớn nhất của |AM - BN|?

Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 3, hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = |z - 9| + 3|z + 1 - 6i|?

Bài viết vừa tổng hợp các kiến thức lý thuyết, dạng bài tập liên quan đến bất đẳng thức Mincopxki. Đây là nội dung quan trọng và phức tạp đòi hỏi các em phải ôn tập kỹ càng, thực hành giải toán thường xuyên để nắm vững. Chúc các em học tốt và luôn đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới. Đừng quên theo dõi chuyên mục Toán 9 để cập nhật thêm nhiều bài học hữu ích nhé!