phương trình bậc hai

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\), với \(a\ne0.\)

Công thức nghiệm với \(\Delta:\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac.\)

• Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=-\dfrac{b}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn với \(\Delta':\)

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0.\) Đặt \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Ta có 3 cách nhẩm nghiệm thường dùng sau:

Cách 1. Ta có \(f(1)=a+b+c.\) Nếu \(f(1)=0\) hay \(a+b+c=0\) thì \(x=1\) là một nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Vi-ét thì nghiệm kia là \(x_2=\dfrac{c}{a}.\)

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) có hai nghiệm \(x_1, x_2.\) Khi đó ta có hệ thức \[\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{array}\right.\]

Sau đây là một số ví dụ áp dụng.

Ví dụ 1. Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2+x-1=0.\) Tính giá trị các biểu thức

Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\), trong đó \(a\ne0.\)

• Nếu \(f(x)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì ta có phân tích \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).\)
• Nếu \(f(x)=0\) có nghiệm kép \(x_0\) thì ta có phân tích \(f(x)=a(x-x_0)^2.\)
• Nếu \(f(x)=0\) vô nghiệm thì \(f(x)\) không thể phân tích nhân tử được.

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0.\)

Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thì \[\begin{cases}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}\]

Điều kiện để có nghiệm dương, âm, trái dấu