Mệnh đề chứa biến là gì, cách xét tính đúng sai và bài tập

Kiến thức về mệnh đề chứa biến luôn là phần nội dung quan trọng trong môn Toán 10. Khái niệm, các cách áp dụng và bài tập trắc nghiệm tự ôn luyện.

Mệnh đề chứa biến là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán 11. Nó giúp chúng ta mô tả mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau trong một bài toán. Biến trong mệnh đề có thể đại diện cho các giá trị không xác định hoặc có thể thay đổi trong quá trình giải quyết bài toán.

Bài viết này thayphu sẽ giới thiệu về dạng mệnh đề có chứa biến này, cách chúng ta hiểu và áp dụng chúng để giải các bài toán phức tạp. Hãy cùng tìm hiểu thông qua bài viết này nhé.

Mệnh đề chứa biến là gì?

• Những câu khẳng định mang tính chất đúng sai phụ thuộc vào biến được gọi là mệnh đề chứa biến.

Ví dụ:

+) A(x): “2x^2 – 8 = 0”

+) B(m): “m là một số nguyên tố”

• Một trong những ứng dụng phổ biến của chúng là trong giải phương trình. Khi có phương trình chứa một hay nhiều biến, chúng ta có thể sử dụng mệnh đề này để mô tả mối quan hệ giữa các biến đó và tìm giá trị của chúng.

Cách xét tính đúng sai của mệnh đề chứa biến

Để xét tính đúng sai của một mệnh đề này thì chúng ta cần kiểm tra xem mệnh đề đó có đúng trong mọi trường hợp hay không. Hay cụ thể hơn là chúng ta sẽ tìm tập hợp D các giá trị của biến x sao cho P(x) đúng hoặc sai.

Ví dụ:

+) P(x): “x^2 + 1 > 0” là một mệnh đề có chứa biến.

Với x = 2 thì P(2): “2^2 + 1 > 0” là một mệnh đề đúng.

+) M(n): “2n - 3 > 1” là một mệnh đề có chứa biến.

Với y = 0 thì Q(0): “2.0 - 1 > 1” là một mệnh đề sai.

Lưu ý: Việc kiểm tra tính đúng sai của dạng mệnh đề này bằng cách thay thế giá trị biến là một phương pháp kiểm tra hợp lý, nhưng nó không chứng minh tính đúng sai tuyệt đối của mệnh đề. Đôi khi, mệnh đề có thể đúng với một số giá trị biến nhưng sai với các giá trị biến khác.

Cách áp dụng mệnh đề chứa biến để giải quyết bài toán phức tạp

• Đọc và hiểu mệnh đề: Đọc và hiểu rõ dạng mệnh đề, xác định các biến và mối quan hệ giữa chúng.
• Phân tích mệnh đề: Phân tích mệnh đề để xác định các thông tin quan trọng và quy tắc toán học có thể áp dụng.
• Xác định mục tiêu: Xác định mục tiêu của bài toán, tức là tìm giá trị của biến hoặc giải phương trình.
• Áp dụng quy tắc và phép toán: Sử dụng quy tắc và phép toán trong toán học để giải quyết các mệnh đề.
• Kiểm tra và đánh giá: Kiểm tra kết quả và đánh giá tính hợp lý của nó trong ngữ cảnh của bài toán.

Cách áp dụng mệnh đề chứa biến để chứng minh định lý

Cách 1: chứng minh trực tiếp

Giả sử A đúng, ta áp dụng các kiến thức toán học và suy luận để chứng minh rằng B đúng.

Ví dụ: Chứng minh:Nếu n là số tự nhiên chẵn thì n^2 sẽ chia hết cho 2.

Gợi ý lời giải:

Vì n chẵn nên n = 2k (k thuộc N)

Ta có: n^2 = (2k)^2 = 4k^2 chia hết cho 2 => điều phải chứng minh.

Cách 2: chứng minh phản chứng

Giả sử B sai, từ đó chứng minh mệnh đề A cũng sai. Bởi vì A không thể cùng lúc vừa sai vừa đúng cho nên B buộc phải đúng.

Ví dụ: Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n, khi 3n + 2 là số lẻ thì n chắc chắn là số lẻ.

Gợi ý lời giải:

Giả sử phản chứng, nếu n chẵn thì n = 2k (k thuộc N)

Ta có: 3n + 2 = 3.2k + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) chia hết cho 2 => 3n + 2 là số tự nhiên chẵn => trái với dữ kiện đề bài cho.

Vậy ta suy ra được n là số lẻ.

Bài tập tự luyện về mệnh đề chứa biến

Câu 1: Cho các phát biểu sau:

1. Nhanh lên nào!
2. 3 + 7 + 9 = 19
3. Năm 2003 là năm nhuận
4. x + 5 > 10
5. Trái Đất hình tròn
6. Nha Trang là thành phố trực thuộc trung ương

Vậy trong các phát biểu trên có bao nhiêu mệnh đề?

1. 5
2. 4
3. 3
4. 2

Đáp án: B

Câu 2: Với giá trị nào của x thì “x^2 - 1 = 0, x ∈ N” là mệnh đề đúng?

1. x = 1
2. x = -1
3. x = -2
4. x = 0

Đáp án: A

Câu 3: Tìm mệnh đề đúng?

1. n ∈ N: n > 0
2. x ∈ R: 2m = m
3. n ∈ R: x^2 > 0
4. x ∈ Q: k^2 = 2

Đáp án: A

Câu 4: Mệnh đề x ∈ R, x^2 - 2 + c > 0 với a là số thực cho trước. Hãy tìm c để có mệnh đề đúng?

1. a ≤ 2
2. a < 2
3. a = 2
4. a > 2

Đáp án: A

Câu 5: Cho mệnh đề có chứa biến P(x): x + 2 > x^2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1. P(3)
2. P(-1)
3. P(1)
4. P(-3)

Đáp án: C

Câu 6: Mệnh đề nào dưới đây tương đương với mệnh đề “Nếu số nguyên n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 2 và 3”?

1. Nếu số nguyên n không chia hết cho 6 thì n không chia hết cho 2 và 3.
2. Nếu số nguyên n chia hết cho 2 hoặc 3 thì n chia hết cho 6.
3. Nếu số nguyên n chia hết cho 2 và 3 thì n chia hết cho 6.
4. Nếu số nguyên n không chia hết cho 2 hoặc 3 thì n không chia hết cho 6.

Đáp án: D

Kết luận

Qua bài viết này, các bạn học sinh có thể thấy rằng việc hiểu và áp dụng mệnh đề chứa biến trong toán học là quan trọng để giải quyết các bài toán khó và phát triển kỹ năng tư duy toán học. Hãy ôn luyện thật kỹ những dạng toán về mệnh đề có chứa biến nhé. Bởi vì đây là những kiến thức nền tảng cơ bản đầu tiên khi các em bước chân vào cấp 3 và là nền móng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn sau này.