Liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp

Định nghĩa. Cho đường tròn tâm \(I\) và 2 điểm \(A, B\) thuộc đường tròn. Cho \(C\) là điểm thuộc đường tròn không trùng với \(A, B\). Khi đó góc \(\widehat{ACB}\) gọi là góc nội tiếp chắn cung \(AB\). Góc \(\widehat{ACB}\) trên hình là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(AB\). Chú ý rằng còn trường hợp góc nội tiếp chắn cung lớn \(AB\).

Định lý. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó.

Chứng minh. Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1. Tâm \(I\) thuộc một cạnh của góc \(\widehat{ACB}\)

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có \(\widehat{AIB}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\). Mặt khác tam giác \(IBC\) cân tại \(I\) nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\). Từ hai điều trên suy ra \(\widehat{AIB}=2.\widehat{ICB}.\)

Trường hợp 2. Tâm \(I\) thuộc miền trong của góc \(\widehat{ACB}\)

Vẽ đường kính \(CD\). Khi đó góc nội tiếp \(\widehat{ACB}=\widehat{ACD}+\widehat{BCD}.\) Áp dụng 2 lần trường hợp 1 rồi cộng với nhau ta được điều cần chứng minh.

Trường hợp 3. Tâm \(I\) thuộc miền ngoài của góc \(\widehat{ACB}\)

Vẽ đường kính \(CD\). Khi đó góc nội tiếp \(\widehat{ACB}=\widehat{BCD}-\widehat{ACD}.\) Áp dụng 2 lần trường hợp 1 rồi trừ với nhau ta được điều cần chứng minh.