Cách giải phương trình bậc 4 chi tiết và bài tập vận dụng

Cách giải phương trình bậc 4 chi tiết, chính xác và dễ hiểu nhất. Các dạng bài tập vận dụng liên quan cho các em thực hành.

Cách giải phương trình bậc 4 có khó không? Bài viết sẽ tổng hợp đầy các phương pháp giải cùng bài tập vận dụng chi tiết và dễ hiểu nhất cho các em. Hãy cùng thayphu tham khảo ngay nhé!

Cách giải phương trình bậc 4 dạng ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx + ak^2 = 0

Để giải phương trình dạng này ta có: ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx + ak^2 = 0

⇔ a (x^4 + 2x^2.k + k^2) + bx (x^2 + k) + (c - 2ak)x^2 = 0

⇔ a (x^2 + k)^2 + bx (x^2 + k) + (c - 2ak)x^2 = 0

Từ đây ta có 2 cách giải như sau:

Cách 1 là đưa phương trình về dạng A^2 = B^2

Thực hiện thêm bớt, biến đổi vế trái về dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa x^2 sang bên phải.

Phương pháp giải phương trình bậc 4 đơn giản và dễ hiểu nhất

Cách 2 là đặt y = x^2 + k => y >= k

Như vậy phương trình bậc 4 ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx + ak^2 = 0 về dạng ay^2 + bxy + (c-2ak)x^2 = 0.

Tiếp đó ta tính x theo y hoặc y theo x để đưa về phương trình bậc 2 theo ẩn x.

Cách giải phương trình bậc 4 dạng (x+a) (x+b) (x+c) (x + d) = ex^2

Với ad = bc = m

• Cách 1 là đưa phương trình về dạng A^2 = B^2

(x+a) (x+b) (x+c) (x + d) = ex^2 ⇔ (x^2 + px + m) (x^2 + nx + m) = ex^2

⇔ (x^2 + ((p+n)/2)x + m - ((n-p)/2)x) (x^2 + ((p+n)/2)x + m + ((n-p)/2)x) = ex^2

⇔ (x^2 + ((p+n)/2)x + m)^2 = [((n-p)/2)^2 + e]x^2, với ad = bc = m, p= a + d, n = b + c

• Cách 2 là xét xem x = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.

Trường hợp x khác 0 thì ta có:

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex^2 (x + (m/x) + p) ( x + (m/x) + n) = e.

Ta đặt u = x + m/x, với điều kiện |u| phải >= 2|m|

Như vậy phương trình trở thành (u + p) (u + n) = e.

Từ đây ta tiến hành giải phương trình bậc 2 theo u để tìm x.

Cách giải phương trình bậc 4 dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m

Với a + b = c + d = p

Thực hiện (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m

⇔ (x^2 + px + ab) (x^2 + px + cd) = m

Tiến hành giải phương trình theo 2 cách như sau:

Cách 1:

(x^2 + px + ab) (x^2 + px + cd) = m

⇔ (x^2 + px + (ab + cd)/2 + (ab - cd)/2) (x^2 + px + (ab + cd)/2 - (ab - cd)/2) = m

⇔ (x^2 + px + (ab + cd)/2) ^2 = m + ((ab - cd)/2)^2

Từ đây ta quy về giải phương trình bậc 2 theo biến x.

Cách 2:

Ta đặt y = x^2 + px với điều kiện y >= -p^2/4

Lúc này phương trình có dạng (y + ab) (y + cd) =m

Cuối cùng giải phương trình bậc 2 ẩn y để tìm x.

Ngoài ra, chúng ta có thể đặt một trong các ẩn phụ như sau:

y = x^2 + px + ab

y = x^2 + px + cd

y = (x + p/2)^2

y = x^2 + px + (ab + cd)/2

Hoàn thành các bài tập nhờ áp dụng đúng phương pháp giải

Cách giải phương trình bậc 4 dạng (x + a)^4 + (x + b)^4 = c

Với c < 0

Ta đặt x = y - (a + b)/2

Lúc này phương trình có dạng (y + (a-b)/2)^4 + (y - (a-b)/2)^4 = c

Thực hiện khai triển nhị thức bậc 4 ta được phương trình 2y^4 + 3(a-b)^2 y^2 + 2(a-b)/2)^4 = c

Cuối cùng thực hiện giải phương trình trùng phương ẩn y để tìm x.

Cách giải phương trình bậc 4 dạng x^4 = ax^2 + bx + c

Thực hiện đưa phương trình về dạng A^2 = B^2 ta có:

x^4 = ax^2 + bx + c ⇔ (x^2 + m)^2 = (2m + a)x^2 + bx + c + m^2, với m là một số cần tìm.

Ta tìm m để f(x) = (2m + a)x^2 + bx + c + m^2

Lúc này f(x) có dạng bình phương của 1 biểu thức:

Trường hợp 2m + a < 0

⇔ (x^2 + m)^2 + g^2 (x) = 0 với f(x) = -g^2 (x)

⇔ x^2 + m = 0 và g(x) = 0

Trường hợp 2m + a > 0

⇔ (x^2 + m)^2 = g^2(x) với f(x) = g^2 (x)

⇔ x^2 + m = g(x) và x^2 + m = -g(x)

Cách giải phương trình bậc 4 dạng af^2(x) + bf(x)g(x) + cg^2 (x) = 0

Để giải phương trình dạng này ta có 2 cách như sau:

Cách 1: Xét g(x) = 0, giải tìm nghiệm sau đó thử lại vào phương trình ban đầu.

Trường hợp g(x) khác 0

af^2(x) + bf(x)g(x) + cg^2 (x) = 0 ⇔ a [f(x)/g(x)]^2 + bf(x)/g(x) + c = 0

Đặt y = f(x) / g(x), tiến hành giải phương trình bậc 2 ay^2 + by + c = 0 và tìm x.

Cách 2 : đặt u = f(x), v = g(x)

Lúc này phương trình có dạng au^2 + buv + c^2 = 0

Tiến hành giải phương trình bậc 2, từ đó tính u theo v.

Áp dụng đúng cách giúp các em giải nhanh và chính xác mọi bài tập

Cách giải phương trình bậc 4 dạng tổng quát ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Ta phân tích các hạng tử bậc 4, 3, 2 như sau:

ax^4 + bx^3 + c^2 + dx + e = 0

⇔ 4a^2x^4 + 4bax^3 + 4cax^2 + 4dax + 4ae = 0

⇔ (2ax^2 + bx)^2 = (b^2 - 4ac)x^2 - 4adx - 4ae

Thêm vào 2 vế một biểu thức 2 (2ax^2 + bx)y + y^2 để vế trái trở thành bình phương đúng.

Vế phải là tam thức bậc 2 theo x: f(x) = (b^2 - 4ac - 4ay)x^2 + 2(by - 2ad)x - 4ae + y^2.

Tính y, giải phương trình delta = 0. Sau đó ta được phương trình dạng A^2 = B^2.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình x^4 - 8x^3 + 21x^2 - 24x + 9 = 0 (1)

1. ⇔ (x^4 + 6x^2 + 9) - 8x(x^2 + 3) + 15x^2 = 0

⇔ (x^2 + 3)^2 - 8x(x^2 + 3) + 15x^2 = 0

Ta đặt y = x^2 + 3, phương trình (1) ⇔ y^2 - 8xy + 15x^2 = 0

⇔ (y-3x) (y-5x) = 0 ⇔ y = 3x hoặc y = 5x

Nếu y = 3x ta được: x^2 + 3 = 3x suy ra phương trình vô nghiệm

Nếu y = 5x ta được: x^2 + 3 = 5x ⇔ x^2 - 5x + 3 = 0

⇔ x = 5 - 13 /2 và x = 5 + 13 /2

Bài 2: Giải phương trình (x + 4) (x + 6) (x - 2) (x - 12) = 25x^2 (2)

Ta thấy x = 0 không phải của phương trình

Với x khác 0 thì (2) ⇔ (x + 24/x + 10) (x + 24/x - 14) = 25

Đặt y = x + 24/x => |y| >= 46 ta có (y + 10) (y - 14) = 25

⇔ (y + 11) (y - 15) = 0 ⇔ y = -11 và y = 15

Nếu y = -11 ta có x + 24/x = -11 ⇔ x^2 + 11x + 24 = 0 ⇔ x = -3 và x = -8

Nếu y = 15 ta có x + 24/x = 15 ⇔ x^2 - 15x + 24 = 0 ⇔ x = 15 +- 129 /2

Kết luận phương trình (2) có tập nghiệm là S = {-3; -8; 15 - 129 /2; 15 + 129 /2}.

Vừa rồi là tổng hợp các cách giải phương trình bậc 4 và bài tập vận dụng dễ hiểu. Chúc các em áp dụng thành công và gặt hái nhiều điểm tốt!