Cách giải phương trình bậc 3 chuẩn nhất và bài tập vận dụng

Cách giải phương trình bậc 3 nhanh chóng và hiệu quả nhất. Bài tập minh họa kèm lời giải chi tiết giúp các em dễ hiểu và áp dụng thành công.

Phương trình bậc 3 là một trong những nội dung quan trọng và thường xuất hiện trong các đề thi. Khi gặp dạng bài này các em có thể thực hiện nhiều cách giải khác nhau. Bài viết sau đây của thayphu sẽ giới thiệu các cách giải phương trình bậc 3 hiệu quả nhất, cùng tìm hiểu ngay nhé!

Phương trình bậc 3 là gì? Định nghĩa chi tiết

Tìm hiểu ngay cách giải phương trình bậc 3 nhanh nhất

Phương trình bậc 3 là biểu thức có dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (với a khác 0). Các không điểm của hàm số bậc 3 được định nghĩa bởi vế trái của biểu thức. Nếu các hệ số a, b, c và d của phương trình là số thực thì nó có ít nhất 1 không điểm.

Cách giải phương trình bậc 3 dạng x^3 = a

Cách giải dạng phương trình ta chỉ cần sử dụng căn thức bậc 3: x^3 = a ⇔ x = căn thức bậc 3 của a.

Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Với dạng này đề bài sẽ cho trước 1 nghiệm (hoặc ta dễ dàng tính nhẩm được nghiệm của phương trình, thường là 0; +-1/2; +-1; +-2).

• Nếu x = α là nghiệm của phương trình ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 thì ta được:

ax^3 + bx^2 + cx + d = (x - α).f(x)

• Để tìm f(x) ta dùng đa thức ax^3 + bx^2 + cx + d chia cho (x - α)
• Giả sử f(x) = ax^2 + Bx + C, lúc này ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích là (x - α).(ax^2 + Bx + C) = 0.

Lưu ý: Ngoài cách chia đa thức để tìm f(x) thì ta còn có thể sử dụng sơ đồ Hoocne bậc 3 như sau:

Lúc này: ax^3 + bx^2 + cx + d = (x - α).(ax^2 + Bx + C)

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

⇔ (x - α).(ax^2 + Bx + C) = 0

Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 đơn giản

Phương pháp giải phương trình bậc 3 bằng máy tính cầm tay (máy tính casio)

Để giải phương trình bậc 3 có dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 bằng máy tính chúng ta tiến hành như sau:

Đầu tiên nhấn vào MODE, chọn (5 - EQN). Tiếp đó chọn phím (4) sẽ hiển thị phương trình bậc 3 một ẩn. Lúc này chỉ cần nhập các hằng số a = ?, b = ?, c = ?, d = ?

Hoàn thành xong các bước, máy tính sẽ hiện ra các nghiệm cần tìm.

Giải phương trình bậc 3 online từ các trang web toán học trực tuyến

Các em có thể tham khảo cách giải phương trình bậc 3 bằng công cụ trực tuyến Wolfram Alpha. Đầu tiên là truy cập và trang chủ của Wolfram Alpha theo địa chỉ https://www.wolframalpha.com/

Sau đó nhập dòng lệnh: Solve (phương trình bậc 3 cần giải). Cuối cùng nhấn phím Enter trên bàn phím máy tính rồi xem kết quả.

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi nào?

Thứ nhất là chứng minh bằng bảng biến thiên. Thứ 2 là điều kiện cần, tức thừa nhận có 3 nghiệm phân biệt rồi chứng minh bằng định lý Rolle. Thứ 3 là xét a>0.

Một số bài tập áp dụng

Sau khi tìm hiểu một số cách giải phương trình bậc 3, các em cùng thực hành ngay với các bài tập minh họa bên dưới. Đi kèm với đó là có hướng dẫn giải vô cùng dễ hiểu.

Bài tập số 1

Giải các phương trình bậc 3 sau đây:

1. x^3 = 8

Ta có: x^3 = 8 ⇔ x = căn thức bậc 3 của 8

⇔ x = căn thức bậc 3 của 2^3 ⇔ x = 2

Kết luận x = 2 là nghiệm của phương trình.

2. 2x^3 = -128

Ta có: 2x^3 = -128 ⇔ x^3 = -64

⇔ x = căn thức bậc 3 của (-64) ⇔ x căn thức bậc 3 của (-4)^3 ⇔ x = -4

Kết luận x = -4 là nghiệm của phương trình.

Ví dụ chi tiết về các bước giải phương trình bậc 3

Bài tập số 2

Giải các phương trình bậc 3 đã cho như sau:

1. 2x^3 + 5x^2 - x - 6 = 0

Ta thấy các hệ số của phương trình bậc 3 này là a + b + c + d = 2 + 5 - 1 - 6. Từ đó có thể nhẩm được nghiệm của phương trình là x = 1.

Vì x = 1 là 1 nghiệm của phương trình nên ta sẽ lấy (2x^3 + 5x^2 - x - 6) chia cho (x - 1). Và sử dụng sơ đồ Hoocne để chia:

Vậy 2x^3 + 5x^2 - x - 6 = (x - 1)(2x^2 + 7x + 6)

Lúc này: 2x^3 + 5x^2 - x - 6 = 0

⇔ (x - 1)(2x^2 + 7x + 6) = 0 ⇔ (x - 1) = 0 hoặc (2x^2 + 7x + 6) = 0

• Ta xét: x - 1 = 0 ⇔ x = 1

• Xét: 2x^2 + 7x + 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt là:

x1 = (-7 + 1)/4 = -3/2 và x2 = (-7 - 1)/4 = -2

Như vậy phương trình sẽ có 3 nghiệm là x = 1; x = -2 và x = -3/2

Kết luận tập nghiệm của phương trình S = {-2; -3/2; 1}.

Bài tập số 3

Tìm nghiệm của phương trình 3x^3 - 2x^2 - 5x + 4 = 0 khi biết x = 1 là một nghiệm của phương trình.

Ta có x = 1 là nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3x^3 - 2x^2 - 5x + 4) chia cho

(x - 1). Sử dụng sơ đồ Hoocne như sau:

Vậy 3x^3 - 2x^2 - 5x + 4 = (x - 1).(3x^2 - 2x - 5)

Lúc này: x^3 - 2x^2 - 5x + 4 = 0

⇔ (x - 1).(3x^2 - 2x - 5) = 0

⇔ x - 1 = 0 hoặc 3x^2 - 2x - 5 = 0

Với x - 1 = 0 ⇔ x = 1

Với 3x^2 - 2x - 5 = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = 5/3.

Kết luận phương trình có 3 nghiệm phân biệt là S = {-1; 1; 5/3}

Bài tập số 4

Tìm tham số m để phương trình bậc 3 là (x - 2) (x^2 + mx + m^2 - 3) = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Cách giải phương trình bậc 3 như sau:

(x - 2) (x^2 + mx + m^2 - 3) = 0 ⇔ x - 2 = 0 (2) và x^2 + mx + m^2 - 3 = 0 (3)

Phương trình x - 2 = 0 có 1 nghiệm x = 2. Nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (3) phải có nghiệm kép khác 2. Hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.

• Trường hợp phương trình (3) có nghiệm kép khác 2

x^2 + mx + m^2 - 3 = 0 có Δ = 0 và x = 2 không phải là nghiệm của (3)

⇔ Δ = m^2 - 4m^2 + 12 = 0 và 2^2 + 2m + m^2 - 3 khác 0

⇔ -3m^2 + 12 = 0 và m^2 + 2m + 1 khác 0

⇔ m^2 = 4 và (m + 1)^2 khác 0

⇔ m = +-2 và m khác -1 ⇔ m = +-2

• Trường hợp phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 2

Thay x = 2 vào (3) ta có: m^2 + 2m + 1 = 0

⇔ (m + 1)^2 = 0 ⇔ m = -1

Với m = -1 thì (3) có dạng là x^2 - x - 2 = 0

Phương trình có a - b + c = 0 nên có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = -c/a = 2.

Như vậy m = -1 (thỏa mãn)

Kết luận với m = -1, m = 2 và m = -2 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Tổng kết

Trên đây là cách giải phương trình bậc 3 và các bài tập vận dụng chi tiết nhất. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các em học tốt và đạt nhiều thành tích cao!