Căn bậc 2: Lý thuyết, các dạng toán và bài tập vận dụng

Căn bậc 2 là nội dung cơ bản trong chương trình Toán lớp 9. Lưu ngay phương pháp giải các dạng toán và bài tập áp dụng.

Bài viết tổng hợp lý thuyết, các dạng toán về căn bậc 2 ngắn gọn, súc tích và dễ hiểu nhất. Đi kèm với mỗi dạng luôn có các phương pháp giải và bài tập vận dụng chi tiết. Hãy cùng thayphu theo dõi ngay nhé!

Lý thuyết chung về căn bậc 2

Căn thức bậc hai của của một biểu thức đại số A được viết dưới dạng A. Lúc này A được coi là biểu căn hay biểu thức dưới dấu căn. Và A chỉ có nghĩa hay được xác định khi A lấy giá trị không âm.

Tìm hiểu lý thuyết về căn bậc 2

Với a>= 0 ta có:

• Trường hợp x = a ⇔ x >= 0 và x^2 = a
• Trường hợp x >= 0 và x^2 = a ⇔ x = a

Tính chất của căn bậc 2:

• Với mọi số thực a không âm sẽ đều có một căn bậc hai không âm duy nhất.
• Với mọi số dương a đều có 2 căn bậc hai là căn bậc 2 dương a và căn bậc 2 âm -a.
• Đối với số dương, căn bậc hai còn được viết dạng ký hiệu lũy thừa a^½.
• Hàm số căn bậc 2 f(x) = x là hàm số vạch ra tập hợp các số không âm. Căn bậc 2 của x có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số căn bậc 2 của 2 số chính phương.

Các dạng bài tập về căn bậc 2

Thứ nhất là tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của 1 số

Ta tiến hành giải dựa vào định nghĩa chỉ có số thực không âm mới có căn bậc 2.

• Xét trường hợp a > 0 thì căn bậc 2 của a là +-a và căn bậc 2 số học của a là a.
• Xét trường hợp a = 0 thì căn bậc 2 của a bằng 0.
• Xét trường hợp a âm thì a không có căn bậc 2.

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Các số nào sau đây không có căn bậc 2?

3,2; -4,4; 0; 13; -43 /3; 17

Vì các số âm không có căn bậc hai nên 4,4; -43 /3 không có căn bậc hai.

Bài 2: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau:

1. 16

Căn bậc hai của 16 là 4 và -4 vì 4^2 = 16 và (-4)^2 = 16

Căn bậc hai số học của 16 là 4

2. 0

Căn bậc hai của 0 là 0 vì 0^2 = 0

Căn bậc hai số học của 0 là 0

3. 0,25

Bởi vì 0,5^2 = 0,25 và (-0,25)^2 = 0,25

Nên căn bậc 2 của 0,25 là 0,5 và -0,5.

4. 4/9

Vì 4/9 = (⅔)^2 và (-⅔)^2 = 4/9

Nên căn bậc hai số học của 4/9 là ⅔.

Thứ 2 là tìm 1 số khi biết căn bậc hai số học cho trước

Với số thực không âm a cho trước ta luôn có số là số có căn bậc hai số học bằng a.

Các dạng bài toán liên quan đến căn bậc hai

Bài tập vận dụng

Hãy xác định mỗi số sau đây là căn bậc hai số học của số nào?

1. 0,7

Bởi vì (0,7)^2 = 0,49 nên 0,49 chính là số có căn bậc hai số học là 0,7

2. 7

Bởi vì 7^2 nên 49 chính là số có căn bậc hai số học là 7

3. ⅓

Bởi vì (⅓)^2 = 1/9 nên 1/9 chính là số có căn bậc hai số học là ⅓

4. 13

Bởi vì (13)^2 = 13 nên 13 chính là số có căn bậc 2 số học là 13

Thứ 3 là so sánh căn bậc hai số học

Nếu 0 <= a < b ⇔ 0 <= a < b

Bài tập vận dụng

Bài 1: So sánh các số sau:

1. 3 và 22

Bởi vì: 3^2 = 9 và (22)^2 = 2^2. 2 = 4.2 = 8

9 > 8 nên 9 > 8

Kết luận: 3 > 22

2. 4 và 14 + 1

4 = 3 + 1 và 14 + 1 nên ta sẽ tiến hành so sánh 3 và 14

3^2 = 9, vì 14 > 9 nên 14 > 9

Ta có 14 > 3 => 14 + 1 > 3 + 1

Kết luận là 14 + 1 > 4.

Thứ 4 là tính giá trị biểu thức khi có căn bậc hai

Với a >= 0 thì ta có a^2 = a và (a)^2 = a

Bài tập vận dụng

1. Tính 0,36

Ta có 0,36 = (0,6)^2 = 0,6

2. Tính (6)^2

Ta có (6)^2 = 6

3. Tính (-3/5)2

Ta có (-3/5)2 = (-3/5) (-3/5) = 9/25 = (3/5)2 = ⅗

Áp dụng ngay các phương pháp giải toán nhanh chóng và chính xác

Thứ 5 là tìm điều kiện để biểu thức căn có nghĩa

Biểu thức A chỉ có nghĩa khi A >= 0

Với a là số dương ta sẽ luôn có: x^2 >= a^2 ⇔ x >= a và x <= -a

x^2 <= 0 ⇔ -a <= x <= a

Bài tập vận dụng:

1. Tìm điều kiện để -2 / (3x -1) có nghĩa

Để biểu thức -2 / (3x -1) có nghĩa thì -2/(3x - 1) >= 0

Vì -2 < 0 nên để -2/(3x - 1) >= 0 thì 3x - 1 < 0 (vì mẫu số phải khác 0 nên 3x - 1 phải khác 0)

3x - 1 < 0 ⇔ 3x < 1⇔ x < ⅓

Kết luận với x < ⅓ thì căn có nghĩa.

2. Tìm điều kiện để (3x - 2) / (x2 - 2x + 4)

Để (3x - 2) / (x2 - 2x + 4) có nghĩa thì (3x - 2) / (x^2 - 2x + 4) >= 0

Ta xét x^2 - 2x + 4 = x^2 - 2x + 1 + 3 = (x^2 - 1) + 3 >= 3 > 0 với mọi x thuộc R

Vì vậy (3x - 2)/(x^2 - 2x + 4 >= 0 ⇔ 3x - 2 >= 0 ⇔ 3x >= 2 ⇔ x >= ⅔

Kết luận với x >= ⅔ thì căn đã cho có nghĩa.

Thứ 6 là tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của căn

Bước 1 là tìm điều kiện của căn

Bước 2 là xét biểu thức trong căn để đưa về biểu thức có thể đánh giá được lớn nhất nhỏ nhất như dùng hằng đẳng thức.

Bài tập vận dụng

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x2 - 6x + 13

Ta có: x^2 - 6x + 13 = x^2 - 2x.3 + 9 + 4

= x^2 - 2x.3 + 3^2 + 4 = (x - 3)^2 + 4

Bởi vì (x - 3)^2 >= 0

⇔ (x - 3)^2 + 4 >= 0 + 4

⇔ (x - 3)^2 + 4 >= 4 > 0 với mọi x thuộc R

Bên cạnh đó x2 - 6x + 13 = (x - 3)2 + 4 >= 0+ 4 = 2

Dấu = xảy ra khi x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của căn bằng 2 khi x = 3.

Trên đây là tổng hợp về lý thuyết, các dạng toán và bài tập liên quan đến căn bậc 2. Hy vọng các em có thể áp dụng thành công và dễ dàng làm tốt nội dung này. Đừng quên theo dõi kênh thường xuyên để nhanh chóng cập nhật những bài học hay nhé!