Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân có công bội \(q\) gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu \(|q|<1.\)

Cho cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1,\) công bội \(q.\) Đặt \[S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\]

Ta đã biết tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân trên là \[S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}\]

Vì \(|q|<1\) nên \(\lim q^n=0.\) Từ đó ta có \[\lim S_n=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Vậy cấp số nhân lùi vô hạn có giới hạn của tổng tất cả số hạng của nó là \[S=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Ví dụ 1. Từ một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) có diện tích \(1m^2\). Gọi \(M, N, P, Q\) là trung điểm của 4 cạnh hình vuông \(ABCD.\) Bạn Bình dùng kéo cắt theo hình vuông \(MNPQ\) để được hình vuông thứ 2. Bạn Bình lại tiếp tục cắt theo 4 trung điểm để được hình vuông thứ 3 và cứ thế tiếp tục như vậy. Tính giới hạn của tổng diện tích tất cả các hình vuông được tạo ra.

Ví dụ 2. Cho \(a=3,(14)\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có 2 chữ số 14 lặp lại vô hạn lần. Hãy viết lại \(a\) dưới dạng một số hữu tỉ.