Tính giới hạn của hàm số khi x dần tới dương vô cùng hoặc âm vô cùng

Bài viết này hướng dẫn các em nhẩm nhanh kết quả giới hạn của hàm số khi x dần tới dương vô cùng hoặc âm vô cùng để sử dụng vào các bài toán chương Khảo sát hàm số ở giải tích lớp 12.

Việc tính giới hạn của hàm số khi x dần tới dương vô cùng hoặc âm vô cùng rất cần thiết khi các em lập bảng biến thiên của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất của hàm số. Đây là kĩ năng rất quan trọng khi giải các bài toán thuộc chương 1 giải tích lớp 12, đó là chương khảo sát hàm số.

Giới hạn của hàm đa thức chia đa thức

Xét hàm số \(f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}=\dfrac{px^n+p_1x^{n-1}+\cdots}{qx^m+q_1x^{m-1}+\cdots}\),

trong đó \(g(x)\) và \(h(x)\) là các đa thức. Ta quan tâm đến bậc của đa thức tử và bậc của đa thức mẫu. Gọi \(n\) là bậc của \(g(x)\) và gọi \(p\) là hệ số của \(x^n\) trong \(g(x).\) Gọi \(m\) là bậc của \(h(x)\) và gọi \(q\) là hệ số của \(x^m\) trong \(h(x).\) Ta có các trường hợp sau đây:

• Nếu \(n = m\) thì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty} f(x) = \dfrac{p}{q}\).
• Nếu \(n < m\) thì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty} f(x) = 0.\)
• Nếu \(n>m\) thì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty} f(x) = \pm \infty.\) Kết quả là dương vô cùng hay âm vô cùng tuỳ thuộc vào dấu của phép chia \(\dfrac{p}{q}\) nhân với dấu của \(x\).

Trong trường hợp thứ nhất và thứ hai ở trên, kết quả không phụ thuộc vào \(\x \to -\infty\) hay \(x \to +\infty.\)

Ví dụ tính nhanh giới hạm của hàm đa thức chia đa thức

1. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{-3x^2+4x-2}{2x^2+x+1}=-\dfrac{3}{2}\)
2. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2x-1}{x-3}=2\)
3. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-2x+1}{-2x+1}=-\infty\)
4. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x^2-2x+1}{-2x+1}=+\infty\)
5. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2x}{x^2+1}=0\)
6. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2x+3}{x^2-x+1}=0\)
7. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{3x^2+1}{x}=-\infty\)
8. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{3}{2x+5}=0\)

Ta biến đổi từng bước theo cách tính tự luận ở lớp 11 vài câu, chẳng hạn:

• \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{-3x^2+4x-2}{2x^2+x+1} = \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{ -3+\dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x^2}}{2+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}=-\dfrac{3}{2}.\)
• \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-2x+1}{-2x+1}= \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2 \left( 1- \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} \right)}{x\left( -2 + \dfrac{1}{x} \right)} = \lim\limits_{x\to +\infty} (x).\dfrac{1- \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{-2 + \dfrac{1}{x}} = -\infty\)
  (vì \( \lim\limits_{x\to +\infty} (x) = +\infty \) và \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1- \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{-2 + \dfrac{1}{x}} = -\dfrac{1}{2}\) )
• \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2x+3}{x^2-x+1} = \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2}}{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} = 0\)

Một số bài tập tính giới hạn của hàm số khi x dần tới vô cùng

Tính các giới hạn sau:

1. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2+3x}{x+1}\)
2. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{x}\)
3. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)
4. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{4x+2}{2x-1}\)
5. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{ 1-x}{2x}\)
6. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{ (-2x+1)^3}{(x+2)(3x-1)^2}\)
7. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{(1-x)^4}{\left(x^2 + 1\right)^2}\)

ĐÁP SỐ:

1. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2+3x}{x+1} = +\infty\)
2. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0\)
3. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1} = 1\)
4. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{4x+2}{2x-1} = \dfrac{4}{2} = 2\)
5. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{ 1-x}{2x} = -\dfrac{1}{2}\)
6. \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{ (-2x+1)^3}{(x+2)(3x-1)^2} = -\dfrac{8}{9}\)
7. \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{(1-x)^4}{\left(x^2 + 1\right)^2} = 1\)