Cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Bài viết này nêu 3 cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Cách 1 và cách 2 thuộc chương ĐƯỜNG TRÒN ờ học kì 1, còn cách 3 thuộc chương GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ở học kì 2.

Cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Để chứng minh đường thẳng \(a\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O;R)\) ta có các cách sau:

Cách 1. Nếu \(a\) và \((O)\) có một điểm \(M\) chung thì ta chỉ cần chứng minh \(OM \perp a.\)

Cách 2. Chứng minh khoảng cách từ tâm \(O\) đến \(a\) bằng R. Nghĩa là ta sẽ vẽ \(OH\) vuông góc với \(a\) tại \(H\) rồi chứng minh \(OH = R.\)

Ví dụ chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 1.

Cho điểm \(A\) thuộc đường tròn \((O;R)\). Vẽ tiếp tuyến \(Ax\) của \((O)\). Trên \(Ax\) lấy điểm \(B\). Vẽ đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(OB\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(C\). Chứng minh \(BC\) là tiếp tuyến của \((O).\)

Hướng dẫn giải.

Ta thấy đường thẳng \(BC\) có điểm chung với \((O)\) là điểm \(C.\) Do đó để chứng minh \(BC\) là tiếp tuyến của \((O)\) ta dùng cách 1, nghĩa là cần chứng minh \(BC \perp OC.\)

Tiếp tục quan sát thì ta thấy có thể chứng minh được \(\triangle OAB = \triangle OCB\). Mà tam giác \(OAB\) vuông nên tam giác \(OCB\) cũng vuông. Từ đó suy ra được \(BC\) là tiếp tuyến của (O).

Lời giải.

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(OB.\) Xét \(\triangle OAC\) có \(OA = OC\) (bằng bán kính). Suy ra \(\triangle OAC\) cân tại \(O.\) Tam giác \(OAC\) cân tại \(O\) có \(OH\) là đường cao nên cũng là đường phân giác, suy ra \(\widehat{AOH}=\widehat{COH}.\)

Xét \(\triangle AOB\) và \(\triangle COB\) có:

\(\widehat{AOB}=\widehat{COB},\)

\(OB\) là cạnh chung,

\(OA = OC.\)

Suy ra \(\triangle AOB = \triangle COB\) (c-g-c).

Suy ra \(\widehat{OAB}=\widehat{OCB}.\)

Mà \(\widehat{OAB}=90^\circ\) nên \(\widehat{OCB}=90^\circ.\)

Suy ra \(BC \perp OC.\)

Vậy \(BC\) là tiếp tuyến của \((O).\)

Ví dụ 2.

1. Bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
2. \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm ở trên.

Hướng dẫn giải.

1. \(E\) và \(F\) thuộc đường tròn đường kính \(BCD\) nên các tam giác \(BEC\) và tam giác \(BFC\) vuông tại \(E\) và \(F\).
   Suy ra tam giác \(AFH\) và tam giác \(AEH\) lần lượt vuông tại \(F\) và \(E\).
   Suy ra \(E\) và \(F\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\).
   Vậy 4 điểm \(A, E, H, F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).
   Gọi \(O\) là trung điểm \(AH\). Ta có \(O\) là tâm đường tròn qua 4 điểm trên.
2. Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên trung tuyến \(AD\) cũng là đường cao. Suy ra \(AD \perp BC.\)
   Ta giác \(ABC\) có 2 đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\) nên suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)
   Suy ra \(H\) thuộc đường cao \(AD.\) Hay \(A, O, H, D\) thẳng hàng.
   Ta có \(A_1 = B_1\) (cùng phụ góc C).
   Mà \(A_1 = E_1\) và \(B_1 = E_3\) (tam giác \(AOE\) cân tại \(O\) và tam giác \(BDE\) cân tại \(D.\))
   Suy ra \(E_1 = E_3\).
   Ta có \(E_1 + E_2 = 90^\circ\) suy ra \(E_3 + E_2 = 90^\circ\).
   Suy ra \(OE \perp DE.\) Vậy \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn qua 4 điểm \(A, E, H, F.\)

Ví dụ 3.

1. Chứng minh tam giác \(ADB\) cân và \(OE\parallel BD\).
2. Khi \(C\) chạy trên đường tròn \((O)\) không trùng \(A\) và \(B\) thì \(D\) chạy trên đường nào?

Ví dụ 4

1. Chứng minh rằng \(H\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\).
2. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng \(CD\) với đường tròn \(\left( O\right)\).

Bài tập

Bài 1. Cho nửa đường tròn \(\left( O\right) \) đường kính \(AB\). Qua \(C\) thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến \(xy\) của nửa đường tròn. Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(A\) và điểm \(B\) trên \(xy\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) xuống \(AB\). Chứng minh:

1. \(C\) là trung điểm của \(MN\).
2. \(CH^2=AM\cdot BN\).

Bài 2. Cho nửa đường tròn \(\left( O,R\right)\) đường kính \(AB\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) vẽ các tiếp tuyến \(Ax\), \(By\) với nửa đường tròn \(\left( O\right)\). Từ điểm \(D\) bất kỳ trên \(Ax\) kẻ tiếp tuyến \(DC\) với đường tròn \(\left( O\right)\) (\(C\) là tiếp điểm), tiếp tuyến này cắt \(By\) ở \(E\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(AC\) và \(DO\), \(N\) là giao điểm của \(OE\) và \(CB\), \(I\) là giao điểm của \(CO\) và \(MN\).

1. Chứng minh \(DE = AD + BE\).
2. Tính số đo góc \(DOE\).
3. Chứng minh \(AC \cdot OE = BC \cdot OD\).
4. Khi điểm \(C\) di chuyển trên nửa đường tròn \(\left( O\right)\) thì điểm \(I\) di chuyển trên đường nào?