Cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Bài viết này nêu 3 cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Cách 1 và cách 2 thuộc chương ĐƯỜNG TRÒN ờ học kì 1, còn cách 3 thuộc chương GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ở học kì 2.

Cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Để chứng minh đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ ta có các cách sau:

Cách 1. Nếu $a$ và $(O)$ có một điểm $M$ chung thì ta chỉ cần chứng minh $OM \perp a.$

Cách 2. Chứng minh khoảng cách từ tâm $O$ đến $a$ bằng R. Nghĩa là ta sẽ vẽ $OH$ vuông góc với $a$ tại $H$ rồi chứng minh $OH = R.$

Ví dụ chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 1.

Cho điểm $A$ thuộc đường tròn $(O;R)$. Vẽ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$. Trên $Ax$ lấy điểm $B$. Vẽ đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $OB$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $C$. Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(O).$

Hướng dẫn giải.

Ta thấy đường thẳng $BC$ có điểm chung với $(O)$ là điểm $C.$ Do đó để chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(O)$ ta dùng cách 1, nghĩa là cần chứng minh $BC \perp OC.$

Tiếp tục quan sát thì ta thấy có thể chứng minh được $\triangle OAB = \triangle OCB$. Mà tam giác $OAB$ vuông nên tam giác $OCB$ cũng vuông. Từ đó suy ra được $BC$ là tiếp tuyến của (O).

Lời giải.

Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $OB.$ Xét $\triangle OAC$ có $OA = OC$ (bằng bán kính). Suy ra $\triangle OAC$ cân tại $O.$ Tam giác $OAC$ cân tại $O$ có $OH$ là đường cao nên cũng là đường phân giác, suy ra $\widehat{AOH}=\widehat{COH}.$

Xét $\triangle AOB$ và $\triangle COB$ có:

$\widehat{AOB}=\widehat{COB},$

$OB$ là cạnh chung,

$OA = OC.$

Suy ra $\triangle AOB = \triangle COB$ (c-g-c).

Suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{OCB}.$

Mà $\widehat{OAB}=90^\circ$ nên $\widehat{OCB}=90^\circ.$

Suy ra $BC \perp OC.$

Vậy $BC$ là tiếp tuyến của $(O).$

Ví dụ 2.

1. Bốn điểm $A$, $E$, $H$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.
2. $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm ở trên.

Hướng dẫn giải.

1. $E$ và $F$ thuộc đường tròn đường kính $BCD$ nên các tam giác $BEC$ và tam giác $BFC$ vuông tại $E$ và $F$.
   Suy ra tam giác $AFH$ và tam giác $AEH$ lần lượt vuông tại $F$ và $E$.
   Suy ra $E$ và $F$ thuộc đường tròn đường kính $AH$.
   Vậy 4 điểm $A, E, H, F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.
   Gọi $O$ là trung điểm $AH$. Ta có $O$ là tâm đường tròn qua 4 điểm trên.
2. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm của $BC$ nên trung tuyến $AD$ cũng là đường cao. Suy ra $AD \perp BC.$
   Ta giác $ABC$ có 2 đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$ nên suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC.$
   Suy ra $H$ thuộc đường cao $AD.$ Hay $A, O, H, D$ thẳng hàng.
   Ta có $A_1 = B_1$ (cùng phụ góc C).
   Mà $A_1 = E_1$ và $B_1 = E_3$ (tam giác $AOE$ cân tại $O$ và tam giác $BDE$ cân tại $D.$)
   Suy ra $E_1 = E_3$.
   Ta có $E_1 + E_2 = 90^\circ$ suy ra $E_3 + E_2 = 90^\circ$.
   Suy ra $OE \perp DE.$ Vậy $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn qua 4 điểm $A, E, H, F.$

Ví dụ 3.

1. Chứng minh tam giác $ADB$ cân và $OE\parallel BD$.
2. Khi $C$ chạy trên đường tròn $(O)$ không trùng $A$ và $B$ thì $D$ chạy trên đường nào?

Ví dụ 4

1. Chứng minh rằng $H$ thuộc đường tròn đường kính $AB$.
2. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng $CD$ với đường tròn $\left( O\right)$.

Bài tập

Bài 1. Cho nửa đường tròn $\left( O\right)$ đường kính $AB$. Qua $C$ thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến $xy$ của nửa đường tròn. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ và điểm $B$ trên $xy$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $C$ xuống $AB$. Chứng minh:

1. $C$ là trung điểm của $MN$.
2. $CH^2=AM\cdot BN$.

Bài 2. Cho nửa đường tròn $\left( O,R\right)$ đường kính $AB$. Trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ vẽ các tiếp tuyến $Ax$, $By$ với nửa đường tròn $\left( O\right)$. Từ điểm $D$ bất kỳ trên $Ax$ kẻ tiếp tuyến $DC$ với đường tròn $\left( O\right)$ ($C$ là tiếp điểm), tiếp tuyến này cắt $By$ ở $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $AC$ và $DO$, $N$ là giao điểm của $OE$ và $CB$, $I$ là giao điểm của $CO$ và $MN$.

1. Chứng minh $DE = AD + BE$.
2. Tính số đo góc $DOE$.
3. Chứng minh $AC \cdot OE = BC \cdot OD$.
4. Khi điểm $C$ di chuyển trên nửa đường tròn $\left( O\right)$ thì điểm $I$ di chuyển trên đường nào?