Tỉ số thể tích

Bài viết này giới thiệu phương pháp so sánh thể tích 2 khối. Khi cho thể tích của khối này, bằng cách so sánh thể tích hai khối ta có thể tính được thể tích của khối kia.

Tỉ số diện tích hai tam giác

• Nếu hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số 2 cạnh đáy.
• Nếu hai tam giác có chung độ dài cạnh đáy thì tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số chiều cao.
• Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
• Đường trung tuyến của một tam giác chia đôi diện tích của tam giác đó.

Tỉ số khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt phẳng

Cho hai điểm \(A, B\) và mặt phẳng \((P)\). Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \((P)\) tại điểm \(M.\) Ta có công thức
\[\dfrac{d(A,(P))}{d(B,(P))}=\dfrac{MA}{MB}\]

So sánh thể tích hai khối

• Tỉ số thể tích của hai khối có cùng chiều cao bằng tỉ số diện tích đáy.
• Tỉ số thể tích hai khối chung diện tích đáy bằng tỉ số đường cao.

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có thể tích \(V=12\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SA\). Tính thể tích khối chóp \(M.ABC.\)

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\) và có thể tích \(V=12\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABO.\)

Ví dụ 3. Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích \(V\). Tính thể tích khối chóp \(A'.ABC\) và khối \(A'.BB'C'C.\)

Tỉ số diện tích tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là điểm trên cạnh \(AB\) và \(AC\). Gọi \(S_1, S\) lần lượt là diện tích các tam giác \(AMN\) và \(ABC\). Ta có
\[\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{AM}{AB}\cdot\dfrac{AN}{AC}.\]

Công thức tỉ số thể tích

Cho hình chóp \(S.ABC.\) Gọi \(M, N, P\) lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên \(SA, SB, SC\). Khi đó ta có công thức
\[\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SM}{SA}\cdot\dfrac{SN}{SB}\cdot\dfrac{SP}{SC}.\]

Bài tập áp dụng công thức tỉ số thể tích

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(M, N, P\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA, SB, SC\) sao cho \(SA=2SM\), \(SB=3SN\), \(SC=4SP.\) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp \(S.MNP\) và \(S.ABC.\)

Bài 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có thể tích \(V=8\) và có \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(SA, SB\). Tính thể tích khối chóp \(S.MNC.\)

Bài 3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\) và có thể tích \(V=12.\) Gọi \(M\) là trung điểm \(SA.\) Tính thể tích khối chóp \(M.ABO.\)

Bài 4. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và có thể tích \(V=12.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABG.\)