Cách giải phương trình số phức toán 12 đơn giản và chính xác

Phương trình số phức là dạng bài tập thường xuất hiện trong các đề thi. Tìm hiểu kiến thức và phương pháp giải phương trình số phức qua bài viết dưới đây.

Phương trình số phức là nội dung cơ bản thuộc chương trình Toán học 12. Hiểu được kiến thức cơ bản về số phức cũng như phương trình số phức, chúng ta có áp dụng để giải rất nhiều dạng toán, từ cơ bản đến nâng cao.

Bài viết sau đây của Thayphu sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này, cùng với đó là tìm ra các phương pháp giải một phương trình số phức đơn giản và chính xác.

Phương trình số phức là gì?

Khái niệm về phương trình số phức cơ bản

Số phức là số có dạng a+bi, trong đó a và b là số thực, còn i là số ảo. Phương trình số phức có dạng a+bi=0, tức là chúng ta cần tìm hai giá trị của a và b sao cho phương trình đó thỏa mãn. Hay nói một cách khác, z là nghiệm chính xác của phương trình đó.

Phương pháp để giải được một phương trình số phức là ta có thể sử dụng công thức giải, sau đó áp dụng những phép biến đổi trên tập hợp số phức. Chẳng hạn như rút tham số, giải hệ phương trình, đồng nhất mẫu số, đặt số phức tương đương hoặc rút căn số phức. Có rất nhiều cách để chúng tanh thực hiện giải một phương trình số phức, tùy vào từng bài toán để cho mình cách giải nhanh nhất.

Các phép biến đổi cơ bản trong phương trình số phức

Biến đổi tính toán trong các phương trình số phức

Để biến đổi và tìm ra được nghiệm của phương trình số phức, các bạn phải sử thành thạo các phép tính toán số phức cơ bản. Cụ thể, có 6 phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức, cụ thể là như sau:

Phép tính số phức thông thường

Cho hai số phức:

z1 = a + bi

z2 = c + di

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

z1.z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.

z1/z2 = [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i (Đk: z2 khác 0)

Các phép tính số phức khác

• Phép nghịch đảo: Cho số phức khác 0 là z = a + bi , công thức tính nghịch đảo của z là 1/z = (a - bi)/(a^2 + b^2).
• Phép đối xứng: Cho số phức bất kỳ z = a + bi, số phức đối xứng của z là z¯= a - bi.

Các phương trình số phức thường gặp

Phương pháp giải phương trình số phức thường gặp

Phương trình số phức bậc nhất

Phương pháp để giải một phương trình số phức bậc nhất là thực hiện theo 3 bước cơ bản sau đây:

• Bước 1. Các bạn đưa phương trình về dạng chuẩn là az + b = 0, trong đó a và b là số phức, z là số phức ẩn, tức là số phức cần tìm.
• Bước 2. Áp dụng công thức giải phương trình bậc nhất, ta tìm được nghiệm ẩn là z = -b/a.
• Bước 3. Thay các nghiệm z vừa tìm được vào phương trình ban đầu, nhận các nghiệm thỏa mãn, loại những nghiệm không thỏa mãn.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình số phức sau: 6z - 2i = 2 + 2z

Lời giải chi tiết:

• Bước 1, đưa phương trình đã cho về dạng chuẩn: (6 - 2)z = 2 + 2i
• Bước 2, giải phương trình số phức bậc nhất để tìm nghiệm z: z = (2+2i)/(6-2) = 0.5+0.5i
• Bước 3, thay z vào phương trình ban đầu để kiểm tra nghiệm: 6(0.5+0.5i) - 2i = 2 + 2(0.5+0.5i) <=> -i = 0

Do -i = 0 nên nghiệm z = 0.5+0.5i thỏa mãn.

Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình sau: (1–i)z+3–4i=0

Lời giải:

Ví dụ 3: Tìm nghiệm z thỏa mãn phương trình sau: (iz¯–3)(2–i)+z¯(1+2i)=i+1

Lời giải:

Ví dụ 4: Cho phương trình số phức sau:

Tìm phần ảo của z.

Lời giải:

Ta có:

Vậy phần ảo của z là -6.

Phương trình số phức bậc hai

Cho phương trình bậc hai az²+bz+c=0 (*), trong đó a, b, c là các số thực.

• Với Δ = b² - 4ac:

• Với Δ’ = b’² - ac:

• Áp dụng định lý Vi-et vào phương trình số phức bậc hai này, ta có:

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Gọi z1, z2 là hai nghiệm số phức thỏa mãn của phương trình bậc hai sau đây: z² − 2z + 4 = 0. Tính |z1| + |z2|.

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho phương trình bậc hai z2 + 2z + 10 = 0 (*) với z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình. Khi đó M = ∣z1∣2 + ∣z2∣2 bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: Δ’ = b’² - ac = -9

Do Δ’ < 0 nên (*) có hai nghiệm phức phân biệt, đó là: z1 = − 1 − 3i và z2 = − 1 + 3i

Thay vào: M = ∣z1∣2 + ∣z2∣2 = ∣− 1 − 3i∣2 + ∣− 1 − 3i∣2 = 20.

Ví dụ 3: Cho phương trình z2 + 6z + 13 = 0 với z0 là nghiệm phức có phần ảo dương. Tìm điểm biểu diễn số phức 2 - z0 trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Ta có: Δ’ = b’² - ac = -4

Do Δ’ < 0 nên (*) có hai nghiệm phức phân biệt, đó là: z1 = − 3 − 2i và z2 = − 3 + 2i.

Nghiệm phức có phần ảo dương thỏa mãn là z0 = − 3 + 2i.

=> 2 − z0 = 2 − (− 3 + 2i) = 5 − 2i.

Điểm biểu diễn số phức này là (5; -2).

Kết luận

Trên đây là bài viết của Thayphu về chủ đề phương trình số phức. Hy vọng rằng, các bạn hiểu rõ về nội dung cũng như cách giải của các dạng bài tập cơ bản này. Đừng quên theo dõi những bài viết tiếp theo của Thayphu để có một nền tảng kiến thức thật vững chắc nhé. Chúc các bạn học tốt!