Cách thực hiện phép chia số phức, đinh nghĩa số phức liên hợp

Phép chia số phức là một kiến thức khó và mới đối với học sinh, yêu cầu các em cần phải có kiến thức nền tảng vững chắc để tránh nhầm lẫn khi thực hiện phép chia.

Số phức là tập hợp những giá trị trong không gian hai chiều với phần thực và phần ảo. Đây là một phần quan trọng trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia qua các năm. Trong đó, các phép chia số phức được đánh giá có mức độ phức tạp lớn. Vậy để giúp các em nắm chắc kiến thức chia số phức, thayphu đã tổng hợp toàn bộ những thông tin liên quan đến phép toán này, hãy theo dõi nhé.

Số phức và số phức liên hợp là gì?

Trước khi tìm hiểu về phép chia số phức, các em học sinh phải nắm được kiến thức về số phức và số phức liên hợp. Những kiến thức này sẽ hỗ trợ các em thực hiện phép toán một cách dễ hiểu và hiệu quả hơn.

Định nghĩa về số phức

Định nghĩa về số phức

Khái niệm số phức được định nghĩa như sau: Số phức là một biểu thức đại số có dạng a+ bi, trong đó a và b là số thực, tức a, b thuộc R, i thoả mãn i2 = -1. Đối với số phức z= a+bi, ta có:

• a là phần thực
• b là phần ảo
• i là đơn vị ảo

Nhận xét:

• C là kí hiệu tập hợp của các số phức.
• Mỗi số thực a đều được xem là một số phức, nếu phần ảo b = 0.
• Số 0 vừa được xem là số thực vừa được xem là số ảo.
• Hai số phức bằng nhau nếu phần thực tương ứng bằng nhau và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ 2 + 3i = a+ bi khi a =2 và b= 3.

Định nghĩa về số phức liên hợp

Cho số phức z = a+ bi (a, b ∊ R). Số phức liên hợp của Z có dạng a - bi. Nhận thấy, điểm chung của số phức và số phức liên hợp là có phần thực bằng nhau, phần ảo thì đối nhau.

Ví dụ, cho số phức Z = 2 + 3i, số phức liên hợp của z là 2 - 3i.

Định nghĩa về phép chia số phức

Phép chia số phức là một phép toán dùng để chia hai số phức cho nhau. Cho 2 số phức c + di và a+ bi, tìm một số phức thoả mãn (a+bi)z = c + di. Gọi số phức z là thương của phép chia c + di cho a + bi là (điều kiện a, b khac 0).

Ta có: I = I = c+ dia+ bi

Cách thực hiện phép chia của hai số phức như thế nào?

Có 3 cách phổ biến được sử dụng khi thực hiện phép toán chia số phức cho số phức, cụ thể như sau:

Cách 1: Chuyển phép chia số phức thành phép nhân nghịch đảo

Cho số phức z1 = a + bi và số phức z2 = c + di, z2 là số chia. Ta sẽ chuyển phép chia số phức thành phép nhân nghịch đảo của số phức, với các bước thực hiện như sau:

• Chuyển số phức bị chia và số phức chia về dạng chính phương.
• Tìm số nghịch đảo của số phức chia bằng cách lấy phần nghịch đảo của phần ảo và phần thực của số phức. Số phức nghịch đảo của z2 là 1z2 = 1 c+ di = c - di (c+ di)(c-di) = c- di c2 + d2
• Nhân số phức bị chia với nghịch đảo của số phức chia và rút gọn kết quả bằng cách chia nó cho phần thực của số phức chia.

Ví dụ minh hoạ: Thực hiện phép chia số phức sau: I = 5- 2i1+ 2i

Giải:

Số phức nghịch đảo của 1 + 2i là 1 1+ 2i = 1-2i 5

Ta có: I = 5- 2i1+ 2i = 1 1+ 2i (5 - 2i) = 1-2i 5 (5 - 2i) = 1.5 - 1.2i - 5.2i + 2i.2i 5 = 9-12i 5 = 9 5- 12 5 i

Cách 2: Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp

Cho 2 số phức z1 = a + bi và số phức z2 = c + di. Với z2 là số chia, ta có số phức liên hợp của z2 là c- di. Để thực hiện phép chia số phức, ta tiến hành nhân cả tử số và mẫu số với số phức liên hợp của mẫu.

Cụ thể: a+bic+di = (a+bi)(c-di)(c+di)(c-di) = (ac + bd) + (bc-ad)ic2 + d2 = ac + bdc2 + d2 + bc-adc2 + d2i

Ví dụ minh hoạ: Thực hiện phép chia số phức sau: I = 5- 2i1+ 2i

Giải:

Ta có: Số phức liên hợp của 1 + 2i là 1 - 2i, suy ra I = 5- 2i1+ 2i = (5-2i)(1-2i)(1+ 2i)(1-2i) = 5.1 + (-2)(-2)12 + 22 + (-2).1 - 5(-2)12 + 22i = 95 - 125 i

Cách 3: Thực hiện phép chia số phức trên máy tính cầm tay

Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện phép chia số phức

Hiện nay, đề thi toán THPT Quốc gia thi theo hình thức trắc nghiệm, vậy nên để rút ngắn thời gian thực hiện các phép chia số phức bằng tay, các em có thể nhờ sự trợ giúp của máy tính cầm tay với các bước thực hiện như sau:

Đối với casino fx 570 VN:

• Bước 1: Bạn nhấn Shift Mode, nhấn xuống chọn 3: CMPLX. Tại đây bạn chọn vào 1: a+bi để thiết lập công thức số phức.
• Bước 2: Bạn bấm vào biểu tượng phân số, thực hiện nhập số chia và số bị chia. Cách viết đơn vị ảo trên máy tính nhấn shift EGN.
• Bước 3: Sau khi nhập biểu thức chia, ta nhấn = để hiển thị kết quả.

Đối với casino fx 580 VN:

• Bước 1: Với máy tính casio fx 580, bạn nhấn Mode 2 để hệ thống thiết lập công thức số phức, đơn vị ảo nhấn EGN.
• Bước 2: Bạn thực hiện nhấn công thức và nhấn dấu = để hiển thị kết quả phép chia số phức.

Lưu ý: Trong chương trình THPT hiện nay, ta chỉ quan tâm đến một số chức năng như:

• Conjugate: Số phức liên hợp
• Real Part: Phần thực của số phức
• Imaginary Part: Phần ảo của số phức
• Argument: Argument của số phức

Những quy tắc cần nhớ khi thực hiện phép chia số phức

Quy tắc cần nhớ khi tiến hành chia số phức

Để có thể chia số phức dễ dàng, tránh bị nhầm lẫn, các em cần tuân thủ theo những nguyên tắc sau đây:

• Quy tắc chia một số phức cho số phức khác: Đặt số phức bị chia vào dấu chia và đặt số phức bị chia ở dưới dấu chia. Nhân cả số phức bị chia và số phức chia với số phức nghịch đảo, thực hiện rút gọn biểu thức khi có thể.
• Quy tắc chia một số thực cho số phức: Chuyển số thực thành một số phức, bằng cách cộng số thực với số phức 0i, ví dụ chuyển số thực 2 thành số phức 2 + 0i. Sau đó, áp dụng quy tắc chia số 1 để thực hiện phép chia số phức.
• Quy tắc chia số phức cho một số thực: Ta tiến hành chia phần thực và phần ảo của số phức bị chia cho số thực. Ta sẽ được kết quả là số phức mới với phần thực là phần thực của phép chia và phần ảo là phần ảo của phép chia chia cho số thực.
• Quy tắc thực hiện phép chia: Khi thực hiện phép chia số phức với tử số = 0 thì kết quả phép chia =0. Ví dụ: I = 01+ 2i = 0

Lưu ý: Khi thực hiện phép tính, ta nên rút gọn biểu thức nhất có thể để tính toán số phức chính xác hơn.

Phép chia số phức dạng đặc biệt

Liệu có tồn tại trường hợp đặt biệt khi thực hiện phép chia số phức không? Câu trả lời là có ứng với trường hợp số phức khác 0. Trên thực tế, ta không thể chia cho số phức bằng 0 trong những trường hợp thông thường. Tuy nhiên, khi chia số phức với mẫu số không khác 0, ta không thể xác định kết quả của phép chia. Điều này có nghĩa rằng phép chia số phức không có ý nghĩa và thường ghi Không tồn tại để biểu thị kết quả trong trường hợp này.

Cụ thể: I = 5- 2i0 = // (Kí hiệu // mang ý nghĩa không tồn tại)

Ứng dụng của phép chia số phức trong lĩnh vực số học

Những ứng dụng thường gặp của số phức

Phép chia số phức là một phép toán đóng một vai trò quan trọng trong lĩnh vực số học bởi nó được ứng dụng trong những thuật toán, bài toán số học đòi hỏi mức độ phức tạp cao. Một số ứng dụng phép chia của số phức như sau:

• Ứng dụng giải bài toán hình học và phương trình: Khi thực hiện phép chia số phức, sẽ giúp ta tìm được những giá trị của các biến phức tạp của các bài toán liên quan đến phương trình hay hình học phức tạp.
• Ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý và khoa học tự nhiên: Thực hiện chia số phức sẽ giúp chúng ta tính được các giá trị trung bình phức tạp, và thường được sử dụng để tính toán dòng điện, vận tốc, điện áp cũng như các thông số khác trong hệ thống điện tử, mạch điện và cơ học lượng từ.

Bài tập ví dụ liên quan đến phép chia số phức

Dưới đây một số bài tập ví dụ liên quan đến phép chia số phức mà các em có thể theo dõi và thực hành theo.

Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của một số trường hợp sau:

1. 1 - 2i
2. 3 + 5i
3. 1 + i

Giải:

1. Số nghịch đảo của số phức z = 1- 2i là:

1z = 11 - 2i = 1+ 2i(1-2i)(1+2i) = 1 5+ 25i

2. Số nghịch đảo của số phức z = 3 + 5i là:

1z = 13+ 5i = 3 - 5i(3 + 5i)(3 - 5i) = 3 16+ -516i

3. Số nghịch đảo của số phức z = 1 + i là:

1z = 11+ i = 1 - i(1 + i)( 1- i) = 1 2+ -12i

Bài 2: Thực hiện phép chia số phức. Từ đó, tìm phần thực và phần ảo của số phức.

1. z = 1 + i1- i
2. z = 1 + 2i2 - i
3. z = 3 + 4i2 + 3i + 5 -2 i2-3i

Giải:

1. z = 1 + i1- i = (1 + i)(1 + i)(1- i)(1 + i) = 1 + 2i + i22 = - 2i2 = -i. Số phức z = -i có phần thực là 0 và phần ảo là -1.
2. z = 1 + 6i2 - i = (1 + 6i)(2 + i)(2 - i)(i + 2) = 2+ i + 8i - 65 = -45 + 95i. Số phức z = -45 + 95i có phần thực là -45 và phần ảo là 95.
3. z = 3 + 4i2 + 3i + 5 -2 i2-3i = (3 + 4i)(2-3i)(2 + 3i)(2 - 3i) + (5 -2i)(2+3i)(2-3i)(2+3i) = 6-9i+8i+1213 + 10+15i-4i+613 = 3413 + 1013 i. Số phức z= 3413 + 1013 i có phần thực là 3413 và phần ảo là 1013.

Phần tự luyện tập phép chia số phức

Để thành thạo các phép chia số phức, các em có thể luyện tập thêm một số phần như sau:
Bài 1: Thực hiện phép chia

a) 6 - 4i2 + 7i

b) 5 -2i5-3i

c) 3 + √3i2 √2+ 3i

d) √5 -2 i4-3i

e) 4 - 5i + 5 + 3i5-6i

f) (1+i)2-2i-3-i

Bài 2: Tìm z thoả mãn

a) 2i = (4-8i)z

b) 5 + 6i = √6i. z

c) (√3 + 8i)z = 6 + 7i

Kết luận

Bài viết trên thayphu.net đã cung cấp thông tin về phép chia số phức. Hy vọng với những kiến thức đã chia sẻ, các em sẽ nắm chắc nội dung bài học và đừng quyên luyện tập thật nhiều nhé.