Hàm số đồng biến trên R và hàm nghịch biến trên R

Hàm số đồng biến trên r dạng toán học quan trọng trong tất cả chương trình học cấp 3. Hãy ghi nhớ công thức để có bài thi THPT tốt nhất và điểm cao nhất.

Trong toán học, kiến thức về hàm số đồng biến và nghịch biến trên một đoạn r là cơ bản và quan trọng. Nó trở thành một dạng bài tập xuất hiện ở hầu hết các bài thi THPT quốc gia. Vậy hàm số đồng biến trên r là gì? hàm nghịch biến trên r là gì? Hãy cùng thayphu tìm hiểu ngay bài viết dưới đây nhé!

Thế nào là hàm số?

Hàm số đã cho trong bài toán

Nếu cho X và Y' là hai tập hợp bất kỳ, f sẽ cho tương ứng với x Ɛ X và chỉ khi y Ɛ Y mộ hàm từ X và Y thì lúc này ta sẽ có phương trình sau:

ƒ: X → Y

Trong trường hợp X và Y là các tập hợp số, ƒ được gọi là một hàm số. Chúng ta chỉ quan tâm đến các hàm số thực của biến số thực, nghĩa là X và Y đều là tập con của R. Tập X được gọi là tập xác định hoặc miền xác định của hàm số ƒ, và thường được kí hiệu là D.

Biến số độc lập trong tập hợp số thực X được ký hiệu là x. Giá trị của hàm số f tại điểm x được ký hiệu là y = ƒ(x) và thuộc tập hợp số thực Y. Tập hợp tất cả các giá trị của hàm số ƒ khi x lấy mọi số thực trong tập hợp X được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số ƒ.

Một cách định nghĩa hàm số là: Nếu giá trị của y phụ thuộc vào giá trị của x sao cho với mỗi giá trị của x, và một giá trị tương ứng của y thì lúc này ta gọi y là hàm số của x lúc này x cũng sẽ là biến số của y.

Nếu y luôn nhận một giá trị khi x thay đổi, thì y được gọi là hàm hằng, ví dụ như y = 3.

Kí hiệu của hàm số y = ƒ(x) có thể được đại diện bởi ƒ(x), g(x), h(x),...

Tập xác định của hàm số y = ƒ(x) là tập con của R bao gồm các giá trị mà biểu thức ƒ(x) có thể xác định được.

Định lý tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Đầu tiên, ta cần hiểu rằng để một hàm số đồng biến trên r và nghịch biến thì điều kiện đầu tiên là hàm số phải được xác định trên R.

Tính chất hàm đồng biến, nghịch biến

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), thì ta có thể xác định được tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số đó. Cụ thể,

• Hàm số y = f(x) sẽ đồng biến trên khoảng (a;b) và chỉ nếu đạo hàm f’(x) luôn không âm trên khoảng này. Nếu f’(x) >= 0 tại một số điểm, thì số lượng các điểm này là hữu hạn.
• Trên khoảng (a;b), hàm số y = f(x) được coi là nghịch biến khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với tất cả các giá trị x trong khoảng đó. Sự bằng nhau xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
• Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc R thì f (x) không đổi trên R

Chúng ta cần ghi nhớ những trường hợp cụ thể liên quan đến điều kiện đơn điệu trên R.

Hàm đa thức bậc 1:

• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ ⇔ a > 0
• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ ⇔ a < 0

Hàm đa thức bậc 3:

Đây là một dạng bài toán phổ biến với hàm số đa thức bậc 3, và hầu hết các bài viết đều tập trung vào trường hợp này.

Xét hàm số y = ax^ 3 + bx^ 2 + cx + d và tính đạo hàm của nó theo công thức y’ = 3ax^ 2 + 2bx + c

Lúc này có hai trường hợp cần xét:

• TH1 là khi a = 0 (nếu có tham số)
• TH2 là khi a ≠ 0.

Hay có thể hiểu theo cách viết ngắn gọn hơn đó là:

Các hàm số đa thức bậc chẵn thì không thể đơn điệu trên trên R được.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị của m sao cho hàm số y = x^3 + 2(m-1)x^2 + 3x -2 đồng biến trên toàn bộ miền xác định R.

Để hàm số y = x^3 + 2(m-1)x^ 2 + 3x - 2 đồng biến trên toàn miền R, ta cần thỏa mãn điều kiện:

(m-1)^2 - 3.3 ≤ 0, hay -3 ≤ m - 1 ≤ 3.

=> -2 ≤ m ≤ 4.

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để hàm số y = mx^3 -mx^2 - (m + 4 )x + 2 nghịch biến trên toàn bộ miền giá trị R.

Để tìm hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta cần xét hai trường hợp.

Trường hợp đầu tiên là khi hàm số suy biến:

Ta có m = 0 thì thì lúc này thay 0 vào m ta sẽ có hàm số y = -x + 2 (là hàm bậc nhất nghịch biến trên toàn miền giá trị)

Trường hợp thứ hai khi hàm số là đa thức bậc 3 với m ≠ 0, và hàm số nghịch biến trên toàn miền giá trị khi và chỉ khi -3 ≤ m < 0.

Kết hợp hai trường hợp trên thì ta có:

-3 ≤ m ≤ 0 là điều kiện để hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Các dạng bài tập hàm đồng biến trên R và hàm nghịch biến trên R

Dưới đây là một số dạng bài tập liên quan đến điều kiện hàm số đồng biến trên r, để các em có thể áp dụng và thực hành.

Dạng 1: tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

• f’(x) > 0 ∀ x Ɛ R thì f(x) đồng biến
• f’(x) < 0 ∀ x Ɛ R thì f(x) nghịch biến

Quy tắc đến làm một dạng bài tập:

• Tính f’(x)
• Giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm ( x1, x2 tùy theo bài yêu cầu)
• Lập bảng xét dấu để tìm xem hàm đồng biến hay nghịch biến trên r. Dựa vào thông tin bảng xét dấu để kết luận.

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = -2x^3 + 3x^2 – 3x và 0 ≤ a < b. Tìm khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b) < 0

D. f (a) < f (b)

lời giải:

=> Ta có đạo hàm của f(x): f’(x) = -6x^2 + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

Từ đạo hàm ở trên ta có thể thấy được hàm số nghịch biến trên ℝ.

Vậy từ đó ta có thể => 0 ≤ a < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

Đáp án đúng là B

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ∀ x1 > x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2)

B. ∀ x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) > f (x2)

C. ∀x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2)

D. ∀x1 < x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2)

Lời giải:

Theo như đề bài đã cho f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ. Dựa vào lý thuyết đã học ta có:

⇒ x1 < x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2) vậy đáp án đúng là D

Dạng 2: Điều kiện của tham số m

• Nếu f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b).

• Nếu f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b).

Công thức cụ thể như sau:

• Để hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d nghịch biến trên một đoạn có độ dài k khi a > 0, thì đạo hàm phương trình y’ = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho khoảng cách giữa chúng bằng k ( |x1 – x2| = k)
• Khi a < 0, để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài k, phương trình y’ = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho khoảng cách giữa chúng bằng k (|x1 – x2| = k).

Ví dụ 1: Khi nào hàm số y = x^3 – 3x^2 + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến trên R.

lời giải

Để hàm số đồng biến trên R ta giải theo bước sau đây:

Đạo hàm của hàm số y = x^3 – 3x^2 + (m – 2) x + 1 là y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0 với m là hằng số:

Ta có ∆’ = 15 – 3m => m ≥ 5 khi(∆’ ≤ 0) được thỏa mãn

Ví dụ 2: Tìm m cho hàm số y = ⅓x^3 – mx^2 – (3m + 2) x + 1 đồng biến trên ℝ

lời giải

Đạo hàm của hàm số y’ = x^ 2 – 2mx – 3m + 2 => hàm số đồng biến trên giá trị ℝ

⇔ x^2 – 2mx – 3m + 2 >= 0 đối với mọi giá trị của x trong ℝ.

Giải phương trình bậc hai ta có ∆’ ≤ 0 ⇔ m ^ 2 + 3m + 2 ≤ 0.

=> -2 ≤ m ≤ -1. Lựa chọn đáp án C

Dạng 3: Tính đơn điệu của hàm số trùng phương

Các bước để phân tích đồ thị hàm số:

• Xác định tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm f'(x) = 0 và tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Hãy phân tích tính đơn điệu của hàm số y = x^4 - 2x^2 + 1.Mọi giá trị của x đều thỏa mãn hàm số.

Ta có: Đạo hàm y’= 4x^3 - 4x + 1= 4x (x^2 – 1)

Đặt y’ = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = -√2/2, x3 = √2/2

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng ta có thể kết luận được:

Hàm số đồng biến trên khoảng ( - ∞; - √2/2) và ( 0;√2/2)

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - √2/2;0) và ( √2/2; + ∞)

Vận dụng các dạng bài để làm những bài tập về hàm số đồng biến trên R

Hãy vận dụng những bài tập hàm số đồng biến trên R để có thể học tốt hơn.

Những bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho hàm số y=x^3+2(m-1)x^2+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Lời giải

Ta có đạo hàm y’= 3x^2 + 2(m-1)x + 3-2 để hàm đồng biến trên R thì

=> (m-1)^2 -3.3≤0 ⇔ -3≤m-1≤3

=> -2≤m≤4.

Bởi hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số cao nhất ta cần phải xét trường suy biến.

Bài tập 2: Cho hàm số y= x^3 + 2(m+1)x^2 - 3mx+5-m tìm m để hàm số đồng biến trên R

lời giải

Bài tập 3: Cho hàm số sau : . Tìm m để hàm đồng biến trên từng khoảng xác định

Lời giải:

Một số bài tập về hàng đồng biến và nghịch biến trên R về nhà

Bài tập 1: Cho hàm số y = 1/3 m - 1x³ - m - 1x² - x + 1, tìm m để hàm số đồng biến trên R

Bài tập 2: Hàm số đồng biến trên r khi nào?

Bài tập 3: Cho hàm số sau tìm GTNN để hàm số luôn nghịch biến trên R

Bài tập 4: Cho hàm số y = (1 - m)/3x^3 - 2mx² + 2 2 - 10x + 5 Tìm m sao cho hàm số luôn nghịch biến trên R

Bài tập 5: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số sau đây: y = x^4 – 6x^2 + 8x+ 1

Bài tập 6: Cho hàm số sau: y= x^4 + 4x+ 6. Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Bài tập 7: Cho hàm số sau: . Khi nào hàm số đồng biến trên R

Bài tập 8: Cho những hàm số sau đây:

Hàm số nào nghịch biến trên R?

Bài tập 9: Tìm các giá trị của tham số m trong những hàm số sau:

Bài tập 10: Cho hàm số sau đây: . Tìm m để hàm đồng biến trên tập xác định.

Kết luận

Trên đây là những kiến thức về hàm số đồng biến trên R và hàm đồng biến trên R mà thayphu muốn gửi đến các em học sinh. Bài viết thể hiện chi tiết những kiến thức trọng tâm và những dạng bài tập phổ biến. Hy vọng với những chia sẻ này sẽ giúp các bạn có thể cải thiện toán học hơn và dành được kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.