Cách tìm ước của một số đơn giản và bài tập vận dụng

Ước của một số là gì? Làm thế nào để tìm các ước của một số? Định nghĩa, tính chất, ứng dụng và phương pháp tìm ước cực hay.

Ước của một số là một số nguyên mà số đó chia hết cho số ban đầu mà không có phần dư. Trong toán học, đặc biệt là trong chương trình toán ở bậc trung học cơ sở, tìm ước chung của một số là một dạng toán tuy cơ bản mà quan trọng và thường xuất hiện nhiều trong các đề thi.

Trong bài viết này, các bạn học sinh hãy cùng thayphu tìm hiểu về các kiến thức cơ bản của ước như định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính ước chung và các bài tập vận dụng cụ thể nhé.

Kiến thức chung các em cần nắm

Ước của một số là gì?

Cho hai số nguyên a và b, ta nói rằng b là ước của a nếu a chia hết cho b mà không có phần dư. Ký hiệu tập hợp ước của a là Ư(a) = {b}.

Ví dụ: số 5 là ước của 15 vì 15 chia hết cho 5 mà không có phần dư. Ta có thể viết Ư(15) = {5}.

Một số có thể có nhiều ước. Ví dụ, số 12 có các ước là 1, 2, 3, 4, 6 và 12, vì 12 chia hết cho tất cả những số này mà không có phần dư.

Tính chất của ước của một số

• Số 0 không là ước của bất kỳ số nào.
• Cả số 1 và -1 đều là ước của mọi số nguyên.
• Nếu c là ước của a, đồng thời cũng là ước của b thì suy ra c được gọi là ước chung của a và b.
• Ta chỉ có thể tìm được ước chung lớn nhất chứ không thể tìm được ước chung nhỏ nhất.

Phương pháp tìm ước của một số

Cách 1: Kiểm tra từng số nguyên dương nhỏ hơn số đó

• Bước 1: Chọn một số nguyên dương nhỏ hơn số cần tìm ước.
• Bước 2: Kiểm tra xem số đó có chia hết cho số ban đầu không.
• Bước 3: Nếu chia hết, số đó là ước của số ban đầu.

Ví dụ: Tìm tập hợp các ước của 8

Ta lần lượt chia 8 cho các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.

Ta thấy rằng 8 chỉ chia hết cho các số 1; 2; 4;8

⇒ Vậy suy ra Ư (9) = {1; 2; 4; 8}.

Cách 2: Sử dụng phân tích số nguyên tố

Bước 1: Phân tích số ban đầu thành các thừa số nguyên tố.

a = b^m × c^n

Trong đó:

• a là số nguyên.
• b và c là các số nguyên tố.
• m và n lần lượt là số mũ của b và c.

Bước 2: Lấy số mũ của các số nguyên tố a và b, tất cả cộng 1 rồi nhân với nhau. Ta có thể tính được số ước của số đó.

Bước 3: Muốn tìm cụ thể các ước, ta lấy các thừa số nguyên tố đó và xác định tất cả các kết hợp có thể.

Bước 4: Kết quả là các ước của số ban đầu.

Ví dụ: Tìm số ước của số 24.

Ta có: 24 = 8 × 3 = 2³ × 3

Ta nhận thấy rằng 2 và 3 là các số nguyên tố có số mũ lần lượt là 3 và 1

⇒ Số ước của 24 là: (3 + 1)×(1 + 1) = 8

Vậy tập hợp ước của 24 gồm 8 số: Ư (24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Ứng dụng của ước của một số trong cuộc sống

• Phân tích số học: Tìm ước của một số là một phần quan trọng của phân tích số học. Nó giúp chúng ta hiểu cấu trúc và tính chất của các số nguyên và số học nói chung. Phân tích số học có ứng dụng trong việc giải các bài toán phức tạp, như tìm ước chung lớn nhất, tìm số nguyên tố, và phân tích các thuật toán mã hóa.
• Toán học và khoa học tự nhiên: Trong các lĩnh vực như toán học, vật lý, hóa học, và kỹ thuật, ước của một số được sử dụng để giải các bài toán và mô hình hóa hiện tượng. Ví dụ, trong toán học, ước chung lớn nhất giữa hai số được sử dụng để rút gọn phân số và giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và tỷ lệ.
• Khoá học máy và xử lý dữ liệu: Trong lĩnh vực khoa học máy và xử lý dữ liệu, ước của một số có thể được sử dụng để xác định các mẫu, phân loại và phân đoạn dữ liệu. Các thuật toán dựa trên các ước chung của một số có thể được áp dụng để tìm kiếm các yếu tố chung, tạo ra các nhóm và hiểu cấu trúc dữ liệu.
• Mật mã học và bảo mật thông tin: Trong lĩnh vực mật mã học và bảo mật thông tin, ước của một số được sử dụng trong các thuật toán mã hóa và giải mã. Ví dụ, hệ mã RSA dựa trên việc tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên lớn để tạo ra khóa công khai và khóa bí mật.
• Kinh tế và tài chính: Trong lĩnh vực kinh tế và tài chính, ước của một số có thể được sử dụng để tính toán tỷ lệ, lãi suất, và các chỉ số tài chính khác. Nó cũng có thể giúp xác định các yếu tố chung trong dữ liệu kinh tế và phân tích xu hướng.

Bài tập vận dụng

Câu 1: Đâu là ước của tất cả các số:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

Đáp án: 1.

Câu 2: Số 28 có bao nhiêu ước nguyên:

a) 2

b) 4

c) 6

d) 12

Đáp án: 12.

Giải thích: Số ước nguyên dương của 28 là: 28 = 2².7 = (2 + 1)(1 + 1) = 6

⇒ Số ước nguyên của 28 là 6.2 = 12.

Câu 3: Các số có hai chữ số nào sau đây là ước của 60.

a) 10; ±35; 60

b) -10; 12; -15

c) ±10; ±12; ±15; ±20; ±30; ±60

d) 40; ±60; -10; ±20

Đáp án: c) ±10; ±12; ±15; ±20; ±30; ±60

Câu 4: Tìm các ước nguyên dương của số 15

a) Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

b) Ư(15) = {0; 4; 5; 45}

c) Ư(15) = {-1; 3; -5; 15}

d) Ư(15) = {0; 3; 5; 30}

Đáp án: a) Ư (15) = {1; 3; 5; 15}

Câu 5: Tìm các số tự nhiên x là bội của 75, đồng thời là ước của 600.

Lời giải:

Ta có:

Tập hợp các bội của 75 là: x ∈ B(75) = {0; 75; 150; 300; 600;...}

Tập hợp các ước của 600 là: x ∈ Ư(600) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10;12 ; 20; 24; 25; 30; 50; 60; 75; 100 ;120; 150; 200; 300; 600}

⇒ Vậy các số tự nhiên x vừa là bội của 75, vừa là ước của 600 là tập hợp các số {75; 150; 300; 600}.

Kết luận

Qua bài viết trên, thayphu .net hy vọng rằng các bạn học sinh đã nắm vững phần kiến thức về ước của một số như định nghĩa, tính chất, các phương pháp tìm ước và ứng dụng của chúng. Ngoài ra còn có các dạng bài tập khác nhau từ cơ bản đến nâng cao để các bạn có thể luyện tập.

Hãy nhớ rằng tìm ước của một số là một kỹ năng quan trọng và thường được sử dụng trong các bài toán thực tế. Vì vậy, muốn hiểu rõ và nắm vững dạng toán này thì ta cần ôn tập và giải bài tập thật nhiều để luyện kỹ năng cũng như có thể áp dụng chúng vào các dạng toán nâng cao hơn nhé.