Ôn thi học kì 2 lớp 11

Đề 1

Bài 1. Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\frac{1}{2}}\dfrac{4x^2+4x+1}{\sqrt{2x+10}-2x-4}\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+4x+3}-2x+3\right)\)

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=4\sqrt{x}+\dfrac{2}{x}+\cot x\)
2. \(y=\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)\)

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x-1}\) tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng \(y=-\dfrac{1}{2}.\)

Bài 4. Cho hàm số \(y=f(x)=2x^3+3(m+1)x^2+6(m^2+2)x+5\). Chứng minh rằng \(f'(x)\ge0\quad\forall x\in\mathbb{R}.\)

Xem thêm: Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu

Bài 5. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông tâm \(I\) cạnh \(a\) và \(SAB\) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

1. Chứng minh \(CD\bot SI\).
2. Tính góc giữa \((SCD)\) và \((ABCD)\).
3. Tính khoảng cách giữa \(SD\) và \(AB\).

Liên quan: Giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc

Đề 2

Bài 1. Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^3+x-2}{2x-3x^2-4}\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to{-\frac{1}{2}}^+}\dfrac{2-3x}{1+2x}\)

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\dfrac{3}{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{3}\)
2. \(y=\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^3\)

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+x-2\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ II của hệ trục toạ độ \(Oxy\).

Bài 4. Cho hàm số \(f(x)=\cos^2(\pi x)\). Tính \(f'(\frac{1}{12})\).

Bài 5. Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(CD\) và \(AB\).

1. Chứng minh \((SCD)\bot (SMN)\).
2. Tính góc giữa \((SAB)\) và \((SCD)\).
3. Tính khoảng cách từ \(A\) đến \((SCD)\).

Hướng dẫn.

Xem lại: Tỉ số khoảng cách từ 2 điểm đến cùng một mặt phẳng

Đề 3

Bài 1. Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to1}\dfrac{x^4-4x^3+3}{\sqrt{x}-1}\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+2}{\sqrt{3x^2+x+1}-2x+1}\)

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=x\tan 2x\)
2. \(y=\left(x^2+1\right)\sqrt{1-x}\)

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x^2+x-3}{x}\) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(\dfrac{5}{2}.\)

Bài 4. Cho hàm số \(y=\dfrac{x-3}{x+4}\). Chứng minh \(2y'^2=(y-1)y''\).

Bài 5. Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ\).

1. Chứng minh \(SA\bot BC\).
2. Tính góc giữa \((SAC)\) và \((SBC)\).
3. Tính khoảng cách giữa \(SC\) và \(AB.\)

Đề 4

Bài 1. Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left(-1+x\sqrt{3}+\sqrt{3x^2+x+1}\right)\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-{\frac{1}{2}}^+}\dfrac{2x^2+5x+2}{4x^2+4x+1}\)

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\dfrac{x^3+x^2}{x^2+1}\)
2. \(y=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2\)

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^4+x^2-2\) tại giao điểm của đồ thị đó với trục hoành.

Bài 4. Cho hàm số \(f(x)=\sin2x+\cos2x+2x\sqrt{2}.\) Chứng minh \(f'(x)\ge0\quad x\in\mathbb{R}.\)

Bài 5. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M, N\) lần lượt là điểm thuộc đoạn thẳng \(SC, SA\) sao cho \(MC=2MS\) và \(MA=2MS.\) Cho \(AB=3a\), \(BC=3a\sqrt{3}.\)

1. Chứng minh \((BMN)\bot(SAB)\).
2. Tính góc giữa \(SC\) và \((ABC)\).
3. Tính khoảng cách giữa \(AC\) và \(BM.\)

ÔN THÊM MỘT SỐ DẠNG GIỚI HẠN

• Tính giới hạn một bên của hàm số
• Tính giới hạn của hàm số tại vô cực
• Tính giới hạn của hàm số tại một điểm bằng phân tích nhân tử
• Tính giới hạn của hàm số tại một điểm bằng liên hợp căn

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN HÌNH HỌC

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a\), \(\widehat{ABD}=60^\circ\), \(SA\bot(ABCD)\), \(SC=2a\sqrt{3}.\)

1. Chứng minh \((SBC)\bot(SAB).\)
2. Tính góc giữa \(SC\) và \((SAB).\)
3. Tính khoảng cách từ \(A\) đến \((SBD).\)