Tính giới hạn của hàm số tại vô cực

Ví dụ 1. Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\)
3. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-2x\right)\)
4. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-2x\right)\)

Phân tích, hướng dẫn

Ta cần trả lời câu hỏi khi nào cần nhân lượng liên hợp?

1. Ở câu 1, khi \(x\to+\infty\) thì \(\sqrt{x^2+x}\to+\infty\) và \((-x)\to-\infty\). Như vậy ta được tổng của 2 vô cùng trái dấu nên có thể cần phải nhân lượng liên hợp. Khi thử nhân lượng liên hợp ra nháp thì thấy triệt tiêu \(x^2\). Như vậy việc nhân liên hợp là đi đúng hướng. Chú ý, khi ta thử nhân lượng liên hợp mà không triệt tiêu \(x^2\) thì không cần liên hợp.
2. Câu 2 là tổng của 2 vô cùng cùng dấu \((+\infty+\infty\)) nên ta đoán được kết quả là \(+\infty\) nên không cần liên hợp mà rút \(x^2\) trong căn để đưa ra ngoài.
3. Câu 3 mặc dùng là 2 vô cùng trái dấu nhưng vẫn không cần liên hợp vì khi ta thử liên hợp thì không triệt tiêu \(x^2\).
4. Câu 4 là 2 vô cùng cùng dấu nên chỉ cần rút \(x^2\) trong căn và kết quả là \(+\infty\).

Giải.

\[\begin{array}{l}&1. \mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\sqrt{x^2+x}+x}\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x}\right)^2-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}+x}\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+x}\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}\\=&\dfrac{1}{2}\end{array}\]

Chú ý.

• \(\sqrt{x^2}=\left\{\begin{array}{lll}x&\text{nếu}&x\ge0\\-x&\text{nếu}&x<0\end{array}\right.\). Nghĩa là: nếu \(x\ge0\) thì \(\sqrt{x^2}=x\), nếu \(x<0\) thì \(\sqrt{x^2}=-x.\)
•  hằng đẳng thức số 3: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)

\[\begin{array}{l}& 2. \mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}-x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}(-x)\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1\right)\\=&+\infty\end{array}\]

Vì \(\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}(-x)=+\infty\) và \(\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1\right)=2>0.\)

\[\begin{array}{l}& 3. \mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-2x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}-2x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left(x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-2x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}x\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-2\right)\\=&-\infty\end{array}\]

Vì \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\) và \(\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-2\right)=-1<0.\)

\[\begin{array}{l}& 4. \mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-2x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}-2x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-2x\right)\\=&\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}(-x)\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+2\right)\\=&+\infty\end{array}\]

Vì \(\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}(-x)=+\infty\) và \(\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+2\right)=3>0.\)

Ví dụ 2. Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{4x^2+x+9}-3x}{2x+3}\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+2}{\sqrt{3x^2+1}+x}\)
3. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}+1}\)

BÀI TẬP

Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{3x^2+2x}+x\right)\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{3x^2+2x}+x\sqrt{3}\right)\)
3. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}+2x\right)\)
4. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right)\sqrt{x}\)
5. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+x-1}{2x^3+4}\)
6. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^2+x-1}{3x+1}\)
7. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+2}\right)\)
8. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+1}{x+\sqrt{x^2+1}}\)
9. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\left(2x\sqrt{x}+x\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{(x+1)(x+2)}\)
10. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+3x}-x}{\sqrt{4x^2+x}-2x}\)
11. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(x+\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}\right)\right]\)

Gợi ý câu cuối

\(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(x+\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}\right)\right]\)

\(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(2x-x-1+1+\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}\right)\right]\)

\(=\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(\sqrt{x^2+2x}-(x+1)+(2x+1)-2\sqrt{x^2+x}\right)\right]\)

\(=\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(\dfrac{x^2+2x-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x}+(x+1)}+\dfrac{(2x+1)^2-4(x^2+x)}{(2x+1)+2\sqrt{x^2+x}}\right)\right]\)

\(=\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(\dfrac{-1}{\sqrt{x^2+2x}+(x+1)}+\dfrac{1}{(2x+1)+2\sqrt{x^2+x}}\right)\right]\)

\(=\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{-x}{\sqrt{x^2+2x}+(x+1)}+\dfrac{x}{(2x+1)+2\sqrt{x^2+x}}\right]\)

\(=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\)