Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu

Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) với \(a \neq 0\), đặt \(\Delta = b^2-4ac\).

• \(f(x) >0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases}\Delta <0 \\ a>0\end{cases}\)
• \(f(x) <0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta <0 \\ a<0 \end{cases}\)
• \(f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \le 0 \\ a>0 \end{cases}\)
• \(f(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \le 0 \\ a<0 \end{cases}\)

Trong các công thức trên, có thể thay \(\Delta\) bởi \(\Delta'=b'^2-ac\). Hãy nhớ rằng \(b'=\dfrac{b}{2}.\)

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(x^2-3x+m>0 \; \forall x \in \mathbb{R}.\)

Giải. \(f(x)=x^2-3x+m>0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
\(\begin{cases}1>0 \\ \Delta = 9-4m<0\end{cases} \Leftrightarrow m>\dfrac{9}{4}\)

Chú ý: Nếu hệ số \(a\) chứa tham số \(m\) thì ta phải xét 2 trường hợp \(a=0\) và \(a \ne 0\) như các ví dụ dưới đây.

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(mx^2-mx-5\le0 \; \forall x \in \mathbb{R}.\)

Giải. Đặt \(f(x)=mx^2-mx-5.\)

• Nếu \(m=0\) thì \(f(x)=-5 \le 0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) (đúng).
• Nếu \(m \ne 0\), ta có \(f(x) \le 0 \; \forall x \in \mathbb{R}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases}m<0 \\ \Delta \le 0\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases}m<0 \\ m^2+20m \le 0\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases}m<0 \\ -20 \le m \le 0\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow -20\le m <0\)

Gộp kết quả của 2 trường hợp ta được \(-20 \le m \le 0\) là đáp số.

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình  \((m-1)x^2-2(m+2)x+m\le0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}.\)

Giải. Đặt \(f(x)=(m-1)x^2-2(m+2)x+m.\)

• Nếu \(m-1=0 \Leftrightarrow m=1\) thì ta có bất phương trình \(-6x+1 \le 0.\) Bất phương trình này có tập nghiệm \(\left[\dfrac{1}{6};+\infty\right)\) khác \(\mathbb{R}.\)
• Nếu \(m \ne 1\), bất phương trình \(f(x) \le 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
  \(\Leftrightarrow\begin{cases}m-1<0 \\ \Delta'=(m+2)^2-m(m-1) \le 0\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow\begin{cases}m<1 \\ 5m+4 \le 0\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow\begin{cases}m<1 \\ m \le -\dfrac{4}{5}\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow m \le -\dfrac{4}{5}\)

Gộp kết quả 2 trường hợp ta được \(m \le -\dfrac{4}{5}\) thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để  \((m-1)x^2+2(m+1)x-2>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}.\)

Giải. Đặt \(f(x)=(m-1)x^2+2(m+1)x-2.\)

• Nếu \(m=1\) thì \(f(x)=4x-2>0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) là điều sai.
• Nếu \(m \ne 1\), \(f(x)>0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
  \(\begin{cases} m-1>0 \\ \Delta'=(m+1)^2+2(m-1)<0\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases} m>1 \\ m^2+4m-1<0\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases} m>1 \\ -2-\sqrt{5}<m<-2+\sqrt{5}\end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow\) không có \(m\).

Vậy không có \(m\) thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 5. Tìm \(m\) để bất phương trình \(mx^2-4mx+8<0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}.\)

Giải.

• Trường hợp \(m=0\) ta được bất phương trình \(8<0\), bất phương trình này vô nghiệm. Như vậy \(m=0\) không thoả mãn yêu cầu đề.
• Trường hợp \(m \ne 0\). Bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
  \(\Leftrightarrow mx^2-4mx+8<0 \; \forall x \in \mathbb{R}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases} m<0 \\ \Delta' < 0 \end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases} m<0 \\ 4m^2-8m < 0 \end{cases}\)
  \(\Leftrightarrow \begin{cases} m<0 \\ 0<m<2 \end{cases}\) (không có \(m\).)

Vậy không có \(m\) thoả yêu cầu đề bài.

BÀI TẬP

Bài 1. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để các bất phương trình sau có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

1. \(x^2-mx+m+3 \ge 0\)
2. \(x^2+2(m-1)x+m+5>0\)
3. \(mx^2-mx-5<0\)
4. \(-x^2-2(m+1)x-2m-2<0\)
5. \(-x^2+2(1-m)x-9 \le 0\)
6. \(x^2+(m+3)x+4 \ge 0\)
7. \(mx^2-2(m+3)x+m-6>0\)