Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Mệnh đề. Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\). Khi đó khoảng cách từ một điểm \(A\) tuỳ ý trên \(a\) đến \((\alpha)\) không đổi.

Chứng minh. Lấy thêm điểm \(B\) khác \(A\) trên \(a\). Gọi \(H, K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A, B\) lên mặt phẳng \((\alpha),\) đường thẳng \(a'\) qua 2 điểm \(H, K\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên \((\alpha).\) Ta có \(AH \parallel BK\) (vì cùng vuông góc với \((\alpha)\)). Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng qua 4 điểm \(A, B, K, H\). Vì \(a\parallel(\alpha)\) nên giao tuyến \(a'\) của \((\alpha)\) và \((\beta)\) song song với \(a\) (theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng). Như vậy tứ giác \(ABKH\) là hình bình hành và có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật. Từ đó \(AH=BK.\) Vậy khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên \(a\) đến \((\alpha)\) không đổi.

Định nghĩa. Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((\alpha)\) song song. Khoảng cách giữa \(a\) và \((\alpha)\) là khoảng cách từ một điểm \(A\) tuỳ ý thuộc \(a\) đến \((\alpha)\). Nghĩa là \(\mathrm{d}\big(a,(\alpha)\big)=\mathrm{d}\big(A,(\alpha)\big).\)