Cách tính diện tích hình tứ giác và bài tập áp dụng

Công thức tính diện tích hình tứ giác là một phương pháp tính toán diện tích của một hình tứ giác bất kỳ. Định nghĩa,tính chất ví dụ cụ thể.

Tứ giác là một hình học cơ bản gồm bốn đỉnh và bốn cạnh, cách tính diện tích của nó có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ kiến trúc đến địa chất và nhiều lĩnh vực khác. Hiểu được công thức tính diện tích tứ giác sẽ giúp chúng ta nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề và ứng dụng thực tế.

Trong bài viết này hãy cùng thayphu khám phá công thức tính diện tích hình tứ giác và tìm hiểu cách vận dụng trong thực tế nhé.

Định nghĩa về hình tứ giác

Định nghĩa về hình tứ giác

Hình tứ giác là hình có bốn đỉnh và bốn cạnh. Các cạnh của hình vuông có thể có độ dài khác nhau và không nhất thiết phải song song hoặc vuông góc với nhau.

Tuy nhiên, tứ giác vẫn giữ được tính chất có bốn đỉnh và bốn cạnh. Đặc điểm quan trọng của tứ giác là tổng độ dài hai cạnh đối diện luôn bằng nhau.

Điều này có nghĩa là cạnh đầu tiên và cạnh thứ ba có tổng độ dài bằng cạnh thứ hai và thứ tư.Điều này phản ánh một tính chất quan trọng của tứ giác được gọi là tính đối xứng của các cạnh.

Xem thêm: Chu vi hình tứ giác là gì? Cách tính và ví dụ cụ thể

Tính chất của hình tứ giác

Tứ giác có một số tính chất quan trọng. Dưới đây là một số tính chất cơ bản của hình tứ giác:

Tính đối xứng của các cạnh

Tổng chiều dài hai cạnh đối diện trong một tứ giác luôn bằng nhau. Điều này có nghĩa là tổng độ dài của cạnh thứ nhất và cạnh thứ ba bằng tổng độ dài của cạnh thứ hai và thứ tư. Tính chất này được gọi là tính chất đối xứng của các cạnh của một tứ giác.

Tính chất đối xứng đường chéo

Đường chéo chia tứ giác thành hai hình tam giác đối xứng. Điều này có nghĩa là độ dài của đường chéo thứ nhất bằng độ dài của đường chéo thứ hai và đường chéo thứ hai cắt nhau ở giữa chúng.

Tính chất tổng các góc

Tổng các góc của một tứ giác luôn bằng 360 độ.Các góc trong của tứ giác có thể lên tới 360 độ, bất kể hình dạng và kích thước của nó.

Tính chất đối xứng điểm

Một tứ giác có thể có một trục đối xứng, tức là có một đường thẳng mà nếu gấp tứ giác dọc theo đường thẳng này thì hai nửa của tứ giác trùng nhau.

Tính chất đối xứng trục

Một tứ giác có thể có một trục đối xứng, tức là một đường thẳng mà nếu ta quay tứ giác đó 180 độ quanh đường thẳng này thì tứ giác đó trùng với chính nó.

Dấu hiệu nhận biết hình tứ giác

Để xác định một hình là tứ giác, bạn có thể tìm kiếm các một số dấu hiệu sau:

• Số đỉnh: Một tứ giác có đúng 4 đỉnh. Nếu một hình có đúng bốn đỉnh thì đó có thể là một hình tứ giác.
• Số cạnh: Hình tứ giác có đúng 4 cạnh.Nếu một hình có chính xác bốn cạnh thì đó có thể là hình tứ giác.
• Các góc: Tứ giác có bốn góc. Bạn có thể kiểm tra các góc của hình để xem liệu có đủ bốn góc hay không. Nếu không thì có lẽ nó là một hình vuông
• Tính đối xứng: Tứ giác có thể có sự đối xứng nhất định. Bạn có thể tìm kiếm các đường đối xứng trong ảnh để xem chúng có tồn tại hay không. Trục đối xứng có thể chia tứ giác thành hai nửa đối xứng.
• Độ dài cạnh: Trong một tứ giác, tổng độ dài hai cạnh đối diện luôn bằng nhau. Bạn có thể đo độ dài các cạnh và kiểm tra xem tổng độ dài của hai cạnh đối diện có bằng nhau hay không.

Công thức tính diện tích hình tứ giác

Có nhiều cách tính diện tích tứ giác, tùy thuộc vào thông tin mà chúng ta có được. Dưới đây là một số công thức phổ biến để tính diện tích hình tứ giác:

Diện tích của một tứ giác bất kỳ

Diện tích của một tứ giác bất kỳ có thể được tính bằng cách chia nó thành hai hình tam giác và tính tổng diện tích hai hình tam giác này. Điều này phụ thuộc vào thông tin về độ dài các cạnh và các góc của tứ giác.

Diện tích của một tứ giác lồi

Nếu tứ giác lồi và ta biết độ dài các cạnh hoặc độ dài hai đường chéo của tứ giác thì ta có thể sử dụng các công thức sau:

• Nếu biết độ dài hai đường chéo của tứ giác đó đường chéo (d₁ và d₂): Diện tích (A) có thể được tính bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo: A = (1/2) * d₁ * d₂.
• Nếu biết độ dài các cạnh (a, b, c, d) và chu vi (P): Áp dụng công thức Heron để tính diện tích: A = √[s(s-a)(s-b)(s-c ) ( s-d )], trong đó s = P/2 là nửa chu vi của tứ giác.

Diện tích tứ giác lõm

Để tính diện tích tứ giác lõm, chúng ta có thể chia thành các hình tam giác hoặc hình bình hành nhỏ hơn rồi tính diện tích riêng.

Sau đó chúng ta cộng tất cả các diện tích này lại với nhau để được tổng diện tích của hình tứ giác lõm.

Một số dạng toán về công thức tính diện tích hình tứ giác

Dưới đây là một số dạng toán cụ thể liên quan đến công thức tính diện tích tứ giác:

Tính diện tích hình tứ giác khi biết độ dài các cạnh

Nếu ta biết độ dài các cạnh trong tứ giác (a, b , c, d), chúng ta có thể sử dụng công thức Heron để tính diện tích: S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] Trong đó s = (a + b + c + d)/2 là nửa chu vi của tứ giác.

Tính diện tích hình tứ giác nếu biết độ dài hai đường chéo

Nếu biết độ dài hai đường chéo (d₁ và d₂) của tứ giác, chúng ta có thể tính diện tích bằng công thức: S = ( 1/ 2) * d₁ * d₂.

Tính diện tích hình tứ giác khi biết độ dài các cạnh và các góc

Nếu biết độ dài các cạnh và một góc trong tứ giác, chúng ta có thể sử dụng cách sau công thức: S = (1/ 2) * a * b * sin(C)

Trong đó a và b là độ dài hai cạnh chứa góc C, và sin(C) là sin của góc C.

Tính diện tích một tứ giác lõm bằng cách chia thành các tam giác

Nếu tứ giác lõm thì chúng ta có thể chia thành các tam giác nhỏ hơn và tính diện tích mỗi tam giác. Sau đó chúng ta cộng tất cả các diện tích này lại với nhau để được tổng diện tích của hình tứ giác lõm.

Một số lưu ý khi tính diện tích hình tứ giác

Khi tính diện tích hình tứ giác cần chú ý những điểm quan trọng sau:

• Kiểm tra tính hợp lệ của hình tứ giác: Đảm bảo các đỉnh của tứ giác không thẳng hàng hoặc trùng lặp. Nếu các đỉnh thẳng hàng hoặc trùng nhau thì hình đó không phải là hình tứ giác.
• Sử dụng công thức thích hợp: Sử dụng công thức tính diện tích phù hợp dựa trên thông tin bạn có.Đối với tứ giác lồi, bạn có thể sử dụng công thức của Heron, đường chéo hoặc độ dài bên để tính diện tích.
• Một hình tứ giác lõm có thể được chia thành các hình tam giác hoặc hình bình hành nhỏ hơn để tính toán diện tích.
• Đơn vị đo lường: Đảm bảo các đơn vị đo lường các cạnh và đường chéo là như nhau. Chuyển đổi các đơn vị nếu cần thiết để đảm bảo tính đầy đủ và nhất quán của kết quả.
• Độ chính xác: Khi tính diện tích, bạn hãy làm tròn kết quả đến số chữ số thích hợp dựa trên độ chính xác yêu cầu của bài toán hoặc thông tin nhập vào.
• Sử dụng công thức tam giác: Bạn có thể chia bất kỳ tứ giác nào thành các hình tam giác và sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính tổng diện tích.
• Xác định loại hình tứ giác: Các công thức tính diện tích có thể khác nhau tùy theo loại hình tứ giác (lồi, lõm, vuông, đều). Việc xác định loại hình tứ giác sẽ giúp bạn chọn được công thức tính diện tích đúng.
• Kiểm tra tính hợp lệ của kết quả: Đảm bảo kết quả tính toán đúng và không âm hoặc không hợp lý so với thông tin nhập vào.

Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Hình tứ giác ABCD có các cạnh lần lượt là AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm và DA = 7 cm. Tính diện tích của hình tứ giác ABCD.

Đáp án:

Sử dụng công thức Heron, ta tính được nửa chu vi của hình tứ giác: s = (AB + BC + CD + DA) / 2 = (5 + 8 + 6 + 7) / 2 = 13 cm.

Sau đó, áp dụng công thức Heron:

S=√[s(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)] =√[13(13-5)(13-8)(13-6)(13-7)] = √[13 * 8 * 5 * 7] = √3640 ≈ 60.33 cm².

Bài tập 2:Hình tứ giác ABCD có độ dài hai đường chéo lần lượt là d₁ = 12 cm và d₂ = 9 cm. Tính diện tích của hình tứ giác ABCD.

Đáp án:

Sử dụng công thức diện tích hình tứ giác khi biết độ dài hai đường chéo: S = (1/2) * d₁ * d₂ = (1/2) * 12 * 9 = 54 cm².

Bài tập 3:Hình tứ giác ABCD là một hình tứ giác lõm với các cạnh lần lượt là AB = 10 cm, BC = 6 cm, CD = 8 cm và DA = 7 cm. Chia hình tứ giác thành hai tam giác ACB và ACD bằng đường chéo BD. Tính diện tích tổng thể của hình tứ giác ABCD.

Đáp án:

Chia hình tứ giác ABCD thành hai tam giác ACB và ACD bằng đường chéo BD.

Tính diện tích của tam giác ACB:

Sử dụng công thức Heron: s₁ = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + 6 + 12) / 2 = 14 cm.

S₁=√[s₁(s₁-AB)(s₁-BC)(s₁-AC)] = √[14(14-10)(14-6)(14-12)] = 2√84 ≈ 18.33 cm².

Tính diện tích của tam giác ACD:

Sử dụng công thức Heron: s₂ = (AC + CD + DA) / 2 = (12 + 8 + 7) / 2 = 13.5 cm.

- S₂ = √[s₂(s₂-AC)(s₂-CD)(s₂-DA)] =√[13.5(13.5-12)(13.5-8)(13.5-7)] = √[13.5 * 1.5 * 5.5 * 6.5] = 13.5√71 ≈ 61.64 cm².

Vậy diện tích tổng thể của hình tứ giác ABCD là S = S₁ + S₂ ≈ 18.33 + 61.64 = 79.97 cm².

Bài tập 4:

Hình tứ giác ABCD là một hình tứ giác lồi với các cạnh lần lượt là AB = 9 cm, BC = 12 cm, CD = 8 cm và DA = 6 cm. Góc giữa hai đường chéo BD và AC là 60 độ. Tính diện tích của hình tứ giác ABCD.

Đáp án: Sử dụng công thức tính diện tích hình tứ giác khi biết độ dài hai cạnh chứa góc C và sin(C): S = (1/2) *AB * BC * sin(C) = (1/2) * 9 * 12 * sin(60°) = (1/2) * 9 * 12 * √3/2 = 27√3 cm² ≈ 46.69 cm².

Bài tập 5:

Hình tứ giác ABCD là một hình tứ giác lõm với các cạnh lần lượt là AB = 7 cm, BC = 5 cm, CD = 9 cm và DA = 6 cm. Chia hình tứ giác thành hai tam giác ACB và ACD bằng đường chéo BD. Tính diện tích tổng thể của hình tứ giác ABCD.

Đáp án: Chia hình tứ giác ABCD thành hai tam giác ACB và ACD bằng đường chéo BD.

Tính diện tích của tam giác ACB:

Sử dụng công thức Heron: s₁ = (AB + BC + AC) / 2 = (7 + 5 + 12) / 2 = 12 cm.

S₁=√[s₁(s₁-AB)(s₁-BC)(s₁-AC)] = √[12(12-7)(12-5)(12-12)] = √[12 * 5 * 7 * 0] = 0 cm².

Tính diện tích của tam giác ACD:

Sử dụng công thức Heron: s₂ = (AC + CD + DA) / 2 = (12 + 9 + 6) / 2 = 13.5 cm.

S₂=√[s₂(s₂-AC)(s₂-CD)(s₂-DA)]

=√[13.5(13.5-12)(13.5-9)(13.5-6)] = √[13.5 * 1.5 * 4.5 * 7.5] ≈ 20.56 cm².

Vậy diện tích tổng thể của hình tứ giác ABCD là S = S₁ + S₂ = 0 + 20.56 = 20.56 cm².

Kết luận

Hy vọng rằng những thông tin trên giúp bạn đã nắm vững các công thức và quy tắc cơ bản để tính diện tích của hình tứ giác. Việc thực hành và làm quen với các bài tập sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và ứng dụng chúng vào các bài toán thực tế.