Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Bài viết này hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác cơ bản cho học sinh lớp 11, qua đó các em sẽ biết cách giải cơ bản.

Phương trình lượng giác cơ là kiến thức nền tảng trong chương phương trình lượng giác lớp 11. Việc giải một phương trình lượng giác chung chung đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. Do đó, học sinh cần nắm kĩ các công thức của phương trình lượng giác cơ bản.

I. Phương trình lượng giác là gì?

Phương trình lượng giác là phương trình trong đó ẩn x nằm trong cung của các giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot.

Ta có 4 phương trình lượng giác cơ bản là \(\sin x = a,\) \(\cos x=a,\) \(\tan x=a,\) và \(\cot x=a.\) Sau đây, ta tìm hiểu công thức giải tổng quát 4 phương trình trên trong các trường hợp của số \(a\) cho trước.

II. Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình sin x = a

• Nếu \(a>1\) hoặc \(a<-1\) thì phương trình trên vô nghiệm.
• Nếu \(-1 \le a \le 1\) thì phương trình có nghiệm.
• Nếu có cung \(\alpha\) đặc biệt để phương trình \(\sin x=a\) được viết lại thành \(\sin x = \sin \alpha\) thì ta có công thức biến đổi
  \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right.\]
  (ta có điều này bởi vì theo công thức cung bù thì \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\))
• Nếu không có cung \(\alpha\) đặc biệt như trên thì ta dùng kí hiệu arcsin để viết nghiệm dưới dạng sau
  \[\sin x = a \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\arcsin(a) + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin(a) + k2\pi \end{array}\right.\]
  (trong đó, \(a\in [-1;1]\), nếu \(a\not\in [-1;1]\) thì phương trình vô nghiệm và không tồn tại arcsin.)

b) Phương trình cos x = a

• Nếu \(a>1\) hoặc \(a<-1\) thì phương trình trên vô nghiệm.
• Nếu \(-1 \le a \le 1\) thì phương trình có nghiệm.
• Nếu có cung \(\alpha\) đặc biệt để phương trình \(\cos x=a\) được viết lại thành \(\cos x = \cos \alpha\) thì ta có công thức biến đổi
  \[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x =-\alpha + k2\pi \end{array}\right.\]
  (ta có điều này bởi vì theo công thức cung đối thì \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\))
• Nếu không có cung \(\alpha\) đặc biệt như trên thì ta dùng kí hiệu arccos để viết nghiệm dưới dạng sau
  \[\cos x = a \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\arccos(a) + k2\pi \\ x =-\arccos(a) + k2\pi \end{array}\right.\]
  (trong đó, \(a\in [-1;1]\), nếu \(a\not\in[-1;1]\) thì phương trình vô nghiệm và ta không tồn tại arccos.)

c) Phương trình tan x = a

• Với mọi \(a\), phương trình \(\tan x = a\) luôn có nghiệm.
• Nếu có cung \(\alpha\) đặc biệt để phương trình được viết thành \(\tan x=\tan \alpha\) thì ta có công thức
  \[\tan x =\tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi\]
• Nếu không có cung \(\alpha\) đặc biệt như trên thì ta dùng kí hiệu arctan để viết nghiệm như sau
  \[\tan x=a \Leftrightarrow x=arctan(a)+k\pi\]
  (với mọi \(a\) thì ta đều tồn tại \(arctan(a)\), chứ không như arcsin, arccos)

d) Phương trình cot x = a

• Với mọi \(a\), phương trình \(\cot x = a\) luôn có nghiệm.
• Nếu có cung \(\alpha\) đặc biệt để phương trình được viết thành \(\cot x=\cot \alpha\) thì ta có công thức
  \[\cot x =\cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi\]
• Nếu không có cung \(\alpha\) đặc biệt như trên thì ta dùng kí hiệu arctan để viết nghiệm như sau
  \[\cot x=a \Leftrightarrow x=arccot(a)+k\pi\]
  (với mọi \(a\) thì ta đều tồn tại \(arccot(a)\), chứ không như arcsin, arccos)

III. Các công thức cần nhớ

Dưới đây, ta quy ước k là số nguyên, \(k \in \mathbb{Z}.\)

Trường hợp đặc biệt \(a=1,\) \(a=-1,\) \(a=0\) thì biểu thức nghiệm được viết gọn như sau:

• \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x= 0 \Leftrightarrow x = k\pi\)
• \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi\)
• \(\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi\)
• \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\)

Các công thức nghiệm:

• \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right.\)
• \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x =-\alpha + k2\pi \end{array}\right.\)
• \(\tan x =\tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi\)
• \(\cot x =\cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi\)

IV. Ví dụ giải bài tập phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Ví dụ 1.

Giải phương trình \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\).

Lời giải.

\(\sin x = -\dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin x=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\pi -\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+k2\pi \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi \end{array}\right.\)

Bình luận.

Nếu quên \(-\dfrac{1}{2}=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) thì ta có thể dùng máy tính bấm SHIFT Sin của \(-\dfrac{1}{2}\) thì máy sẽ cho ta cung \(-\dfrac{\pi}{6}\) (đang để đơn vị radian), trường hợp máy tính đang hiển thị đơn vị độ thì sẽ được \(60^\circ.\)

Ví dụ 2.

Giải phương trình \(\sin 2x=-\dfrac{3}{2}.\)

Lời giải.

Vì \(-\dfrac{3}{2}<-1\) nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3.

Ví dụ 4.

• Với \(x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\): Do \(0<x<2\pi\) nên ta được \(k=0;1\) và \(x=\dfrac{\pi}{12}\) và \(x=\dfrac{13\pi}{12}.\)
• Với \(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\): Do \(0<x<2\pi\) nên ta được \(k=0;1\) và \(x=\dfrac{5\pi}{12}\) và \(x=\dfrac{17\pi}{12}.\)

IV. Phương trình lượng giác ghi bằng đơn vị độ

Khi gặp bài toán giải phương trình lượng giác có đơn vị ghi bằng độ thì ta giải theo độ. Chú ý rằng \(2\pi\) rad ứng với \(360^\circ\) và \(\pi\) rad ứng với \(180^\circ.\)

Ví dụ 5.

Giải phương trình \(\cos\left(x-15^\circ\right)=-\dfrac{1}{2}.\)

Lời giải.

\(\cos\left(x-15^\circ\right)=-\dfrac{1}{2}\)
\(\cos\left(x-15^\circ\right)=\cos 120^\circ\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x-15^\circ=120^\circ+k360^\circ\\&x-15^\circ=-120^\circ+k360^\circ\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=135^\circ+k360^\circ\\&x=-105^\circ+k360^\circ\end{aligned}\right. \)

Bài tập phương trình lượng giác tự giải

Bài 1. Giải các phương trình

1. \(\sin 2x=-1\)
2. \(2\cos 2x + \sqrt{2}=0\)
3. \(\sin 2x + 2=0\)
4. \(\cos \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}\)
5. \(\tan 2x = -1\)
6. \(\cot \left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Bài 2. Giải các phương trình

1. \(\sin 2x = \cos 3x\)
2. \(\sin 2x = -\cos x\)
3. \(\sin x + \cos 2x =0\)
4. \(\tan x = \tan 2x\)
5. \(\tan x = -\cot x\)

Bài 3. Tìm tất cả nghiệm thuộc \([0;\pi)\) của phương trình \(2\cos 4x+\sqrt{2}=0.\)