Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp

Bài viết này hướng dẫn học sinh lớp 11 giải phương trình lượng giác đẳng cấp.

Phương trình lượng giác đẳng cấp còn gọi là phương trình lượng giác đồng bậc. Đồng bậc nghĩa là bậc của tất cả các số hạng của phương trình đều bằng nhau.

Phương trình lượng giác đẳng cấp hay phương trình lượng giác thuần nhất là gì?

Phương trình lượng giác đẳng cấp (đồng bậc) là phương trình có dạng như sau:

1. \(a\sin^2x + b\sin x\cos x + \cos^2x=0\) (1)
2. \(a\sin^2x + b\sin x\cos x + \cos^2x=d\) (2)
3. \(a\sin^3x + b\sin^2 x\cos x + c\sin x\cos^2x + d\cos^3x + e\sin x + f\cos x=0\) (3)

Ta thấy phương trình (1) có tất cả các số hạng đều bậc hai theo \(\sin x\) và \(\cos x\), vế phải là số 0 nên phương trình này còn gọi là phương trình thuần nhất bậc hai.

Phương trình (2) vẫn coi là phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai vì số d có thể viết là \(d=d.1 = d(\sin^2x + \cos ^2 x) \) và đây xem là biểu thức bậc 2. Như vậy số hạng bậc 0 thì có thể xem là số hạng bậc 2 theo \(\sin x\) và \(cos x\).

Và như vậy, phương trình (3) được xem là phương trình lượng giác đẳng cấp bậc 3. Các em hãy để ý rằng, số hạng bậc 1 có thể xem là số hạng bậc 3 như đã giải thích ở phương trình (2).

Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp bậc 2

Phương pháp chung để giải phương trình lượng giác đẳng cấp bậc 2 là chia hai vế cho \(\cos^2x\) để biến đổi về phương trình bậc hai theo \(\tan x\).

Như đã biết về các phương pháp biến đổi tương đương khi giải phương trình, ta chỉ được phép nhân chia 2 vế của phương trình với một số hoặc biểu thức đã khác 0. Do đó, ta chỉ được phép chia 2 vế của phương trình cho \(\cos^2x\) trong trường hợp \(\cos x \ne 0\). Vì vậy, ta phải xét 2 trường hợp \(\cos x=0\) và \(\cos x \ne 0\) để giải trọn vẹn phương trình. Vì \(\sin ^2 x + \cos ^2 x=1\) nên trường hợp \(\cos x=0\) cũng đồng nghĩa với \(\sin ^2x=1\), khi này ta chỉ thế \(\cos x=0\) và \(\sin ^2 x=1\) vào phương trình để xem thoả phương trình hay không thôi. Khi chia hai vế của phương trình cho \(\cos^2 x\), nếu ra biểu thức \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) thì ta biến đổi thành \(1+\tan^2 x\), bởi vì như đã biết công thức lượng giác cơ bản lớp 10 là \(\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x.\)

Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp bậc 3

Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp bậc 3 là chia 2 vế cho \(\cos^3 x\) để biến đổi về phương trình bậc 3 theo \(\tan x\). Tuy nhiên, ta vẫn phải xét riêng trường hợp \(\cos x=0\) như ở trên.

Ví dụ giải phương trình lượng giác đẳng cấp

Ví dụ 1.

Giải phương trình \(\sin^2 x -3\sin x\cos x+2\cos^2x=0.\)

Lời giải.

• Nếu \(\cos x=0\) thì \(\sin^2x=1\), thay vào phương trình ta được \(1=0\) (sai).
• Nếu \(\cos x\ne 0\), phương trình tương đương với

\(\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x} -3 \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^2 x}+2=0\)
\(\Leftrightarrow \tan^2x - 3\tan x+ 2=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \\ \tan x=2 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\arctan(2)+ k\pi \end{array} \right.\)

Vậy tất cả nghiệm của phương trình là \(\left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\arctan(2)+ k\pi \end{array} \right.\)

Ví dụ 2.

Giải phương trình \(2\cos^2 x-3\sin 2x+\sin^2 x=1.\)

Bình luận. Dùng công thức nhân đôi \(\sin 2x =2\sin x \cos x\) để biến đổi về đúng dạng đẳng cấp bậc 2. Nếu`gặp \(\cos 2x\) thì ta viết thành \(\cos^2x - \sin^2x\) (công thức nhân đôi) để đưa phương trình về đúng dạng đẳng cấp bậc hai.

Lời giải.

Phương trình tương đương với \(2\cos^2 x-6\sin x\cos x+\sin^2 x=1\)

• Nếu \(\cos x=0\) thì \(\sin^2x=1\), thay vào phương trình ta được \(1=1\) (đúng). Do đó \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) là nghiệm của phương trình.
• Nếu \(\cos x\ne 0\), phương trình tương đương với

\(2-6 \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^2 x}+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 2- 6\tan x + \tan^2x =1+\tan^2 x\)
\(\Leftrightarrow \tan x =\dfrac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow x = \arctan(6) + k\pi\)

Vậy tất cả nghiệm của phương trình là \(\left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \\ x=\arctan(6)+ k\pi \end{array} \right.\)

Ví dụ 3.

Giải phương trình \(\sin x-4\sin^3x+\cos x=0.\)

Lời giải.

• Nếu \(\cos x=0\) thì \(\sin x=\pm 1\). Thay vào phương trình đều không thoả mãn.
• Nếu \(\cos x\ne 0\), phương trình tương đương
  \(\dfrac{\sin x}{\cos^3 x}-4\dfrac{\sin^3 x}{\cos^3 x}+\dfrac{\cos x}{\cos^3 x}=0\)
  \(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}.\dfrac{1}{\cos ^2 x}-4\tan^3 x+\dfrac{1}{\cos^2 x}=0\)
  \(\Leftrightarrow \tan x(1+\tan ^2 x)-4\tan^3 x+1+\tan^2 x=0\)
  Đặt \(t = \tan x,\) ta được phương trình
  \(t(1+t^2)-4t^3+1+t^2=0 \)
  \(\Leftrightarrow -3t^3 +t^2+t+1=0\)
  \(\Leftrightarrow t=1\) (bấm máy phương trình bậc 3 chỉ có 1 nghiệm, hoặc các em có thể phân tích thành nhân tử có thừa số \(t-1\) )

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi.\)

Bài tập phương trình lượng giác đẳng cấp

Bài 1. Giải các phương trình

1. \( \sin^2 x-3\sin x\cos x+2\cos^2 x=0\)
2. \(3\sin^2 x-\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^2 x-2=0\)
3. \(\sin^2 x-3\sin x\cos x+1+\cos 2x=0\)
4. \(3\sin^2 x+5\cos^2 x-2\cos 2x-4\sin 2x=0\)
5. \((\sqrt{2}+1)\sin^2 x+(\sqrt2-1)\cos^2 x+\sin 2x=\sqrt{2}\)
6. \(\sqrt3\sin^2 x+\left(1-\sqrt3\right)\sin x\cos x-\cos^2 x=\sqrt3-1\)
7. \(3\sin^2 x+4\sin x\cos x+5\cos^2 x=6\)
8. \(\cos^2x-\sqrt{3}\sin 2x=1+\sin^2x\)

Bài 2. Giải các phương trình