Cách giải phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx là một dạng cơ bản quan trọng của bài "Phương trình lượng giác thường gặp" ở đại số lớp 11

Các em cần nắm vững phương pháp giải dạng cơ bản này để áp dụng vào việc giải các phương trình phức tạp có đưa về giải phương trình loại này

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx là phương trình gì

Phương trình bậc nhất theo \(\sin x\) và \(\cos x\) là phương trình có dạng \[a\sin x + b\cos x = c.\]

Cung \(x\) trong phương trình trên có thể là cung khác, chẳng hạn \(2x, 3x\), miễn là cung trong sin và cos giống nhau.

Chẳng hạn phương trình \(2\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x = 2\) cũng là phương trình dạng này.

Phương pháp giải phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Cách giải tổng quát cho phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) là chia 2 vế của phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\), ta được
\[\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Hai hệ số trước \(\sin x \) và \(\cos x\) có tính chất đặc biệt là tổng bình phương của chúng bằng 1. Do đó tồn tại cung \(\alpha\) để thoả mãn
\[\left\{\begin{array}{l} \cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right. \]
Ta được phương trình
\(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
\(\Leftrightarrow \sin(x + \alpha) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) (1)
Đây là phương trình lượng giác cơ bản.

Điều kiện để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
\(-1 \le \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le 1\)
\( \Leftrightarrow \left | \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right | \le 1.\)
\(\Leftrightarrow \left( \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 \le 1\)
\(\Leftrightarrow a^2 + b^2 \ge c^2\)

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình \(a \sin x + b \cos x = c\) có nghiệm là \[a^2 + b^2 \ge c^2.\]

Ví dụ giải phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Ví dụ 1.

Giải phương trình \(\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2.\)

Giải. Ta có \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2.\) Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được

\(\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1\)
\(\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi}{3}\sin x + \sin \dfrac{\pi}{3}\cos x =1\)
\(\Leftrightarrow \sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) = 1\)
\(\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k \pi\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6} + k\pi\)

Bình luận. Phương trình trên còn có thể viết thành
\(\cos x \cos \dfrac{\pi}{6} + \sin x \sin\dfrac{\pi}{6}= 1\)
\(\Leftrightarrow \cos \left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) =1\)

Như vậy, ngoài việc biến đổi vế trái về sin của một tổng ta còn có thể biến đổi về cos của một tổng (hoặc hiệu), các em cứ áp dụng đúng công thức cộng đối với sin và cos của một tổng hoặc hiệu. Nhân đây cũng nhắc lại cho các em luôn các công thức này:

\(\sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b\)
\(\sin(a-b)=\sin a \cos b - \cos a \sin b\)
\(\cos(a+b)= \cos a \cos b - \sin a\sin b\)
\(\cos(a-b)= \cos a \cos b + \sin a\sin b\)

Ví dụ 2.

Giải phương trình \(3\sin x - 4\cos x = 2.\)

Giải. Chia hai vế cho \(\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\) ta được

\(\dfrac{3}{5}\sin x - \dfrac{4}{5}\cos x = \dfrac{2}{5}\)

Đặt cung \(\alpha\) thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l} \cos \alpha = \dfrac{3}{4} \\ \sin \alpha = \dfrac{4}{5} \end{array} \right.\) ta được phương trình
\(\Leftrightarrow \cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = \dfrac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)= \dfrac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-\alpha = \arcsin \left( \dfrac{2}{5} \right) + k2\pi \\ x-\alpha =\pi - \arcsin \left( \dfrac{2}{5} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + \arcsin \left( \dfrac{2}{5} \right) + k2\pi \\ x = \alpha + \pi - \arcsin \left( \dfrac{2}{5} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)

Ví dụ 3.

Giải phương trình \(\sin 2x + \cos 2x = -\sqrt{2}\sin 4x.\)

Giải. Chia hai vế cho \(\sqrt{2}\) ta được

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x = -\sin 4x\)
\(\Leftrightarrow \sin \left(2x+ \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin (-4x)\)

Đến đây các em tự giải tiếp nhé!

Bình luận. Ta có thể dùng công thức \(\sin a + \cos a = \sqrt{2} \sin \left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) \) để biến đổi vế trái nhanh hơn. Ở vế trái cung \(2x\) cũng được xem như cung \(x\) ở các ví dụ trên.

Dạng tổng quát của phương trình ở ví dụ này là \(a \sin x + b \cos x = c\sin u.\), nếu các hệ số \(a, b, c\) thoả mãn \(a^2+b^2 = c^2\) thì ta sẽ giải được tương tự ví dụ này.

Bài tập tương tự:

Bài 1. Giải các phương trình:

1. \(\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos 2x\)
2. \(\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=2\sin x\)
3. \(\sin 8x+\sqrt{3}\cos 7x=\sin 7x+\sqrt{3}\cos 8x\)
4. \(\cos 8x -\sin 6x=\sqrt{3}(\sin8x+\cos 6x)\)

Bài tập giải phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

1. \(\sin x+\cos x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
2. \(\sqrt{3}\cos 3x+\sin 3x=\sqrt{2}\)
3. \(\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=1\)
4. \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=-2\)
5. \(\sin5x+\cos 5x=-1\)
6. \(3\sin x-4\cos x=1\)
7. \(2\cos x-\sin x=2\)