Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

Bài viết này hướng dẫn học sinh lớp 11 giải các phương trình có thể biến đổi thành phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác.

Nội dung này thuộc chương lượng giác lớp 11, bài Phương trình lượng giác thường gặp.

Thế nào là phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác là phương trình có thể biến đổi được về dạng \(at^2+bt+c=0\) qua một phép đặt ẩn phụ \(t= \sin x,\) hoặc \(t=\cos x,\) hoặc \(t=\tan x,\) hoặc \(t=\cot x.\) Cung \(x\) có thể là cung \(2x, 3x, ...\)

Phương pháp giải phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

Đầu tiên ta phải biến đổi phương trình về chung một cung. Chẳng hạn đề bài vừa có cung 2x vừa có cung x thì ta có thể dùng công thức nhân đôi để biến đổi cung 2x về cung x, hoặc có thể dùng công thức hạ bậc để biến đổi về cung chung.

Ta có thể dùng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi qua lại giữa các giá trị sin, cos, tan, cot của cùng một cung x để đặt được ẩn phụ t. Các công thức lượng giác cơ bản hay dùng là:
\(\sin^2x = 1-\cos^2x\) hoặc \(\cos^2x = 1-\sin ^2 x\)
\(\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\)
\(\dfrac{1}{\sin^2x}=1+\tan^2 x\)

Ngoài ra ta còn dùng các công thức nhân đôi, hạ bậc biến đổi về chung một ẩn phụ để đặt ẩn phụ.

Các ví dụ có giải phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

Ví dụ 1.

Giải phương trình \(2\sin^2x-5\sin x+2=0.\)

Lời giải. Ở đây, ta thấy đã có thể đặt ngay ẩn phụ \(t=\sin x\). Điều kiện: \(-1 \le t \le 1.\)
Ta được phương trình \(2t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} t=2\\ t=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\)

Ta loại \(t=2\) và nhận \(t=\dfrac{1}{2}\), từ đó ta có nghiệm \(\left[ \begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x =\dfrac{7\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

Ví dụ 2.

Giải phương trình \(-\sin^2x+\cos x-1=0\).

Lời giải. Ngoài cách đặt ẩn phụ, ta có thể giải gọn như sau mà không cần đặt t.

\(-\sin^2x+\cos x-1=0\)
\(\Leftrightarrow -(1-\cos^2x)+\cos x-1=0\)
\(\Leftrightarrow \cos^2x+\cos x-2=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \cos x=1 (\text{ nhận }) \\ \cos x=-2 (\text{ loại }) \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow x=k2\pi\)

Ví dụ 3.

Giải phương trình \(\dfrac{1}{\sin^2x}=4\cot x+3.\)

Lời giải.

Điều kiện: \(\sin x\ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi.\)

Ta có:
\(\dfrac{1}{\sin^2x}=4\cot x+2\)
\(\Leftrightarrow 1+\cot^2x=2\sqrt{3}\cot x+3\)
\(\Leftrightarrow \cot^2x - 4\cot x + 1=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cot x=2-\sqrt{3} \\ \cot x=2+\sqrt{3} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi \\ x= \dfrac{\pi}{12}+k\pi \end{array} \right.\)

Giải thích thêm: Vì máy tính không có phím cot mà chỉ có phím tan nên ta sẽ nhập shif tan nhưng nhập nghịch đảo của số nhập vào. Từ \(\cot x=2+\sqrt{3}\) ta muốn viết thành \(\cot x=\cot \alpha\). Để tìm \(\alpha\) ta bấm máy như sau: Shif Tan \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\) và được cung \(\dfrac{\pi}{12}.\)

Ví dụ 4.

Giải phương trình \(6\sin^2 3x + \cos12x = 2.\)

Lời giải.

\(6\sin^2 3x + \cos12x = 2\)
\(\Leftrightarrow 6.\dfrac{1-\cos 6x}{2}+2\cos^2 6x-1=2\)
\(\Leftrightarrow 3-3\cos 6x + 2\cos^2 6x -1=2 \)
\(\Leftrightarrow 2\cos^2 6x-3\cos 6x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x =0 \text{ (nhận) } \\ \cos 2x = \dfrac{3}{2} \text{ (loại) } \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Bình luận: Ở ví dụ này, ta thấy các cung xuất hiện trong đề bài khá khác biệt nhau là cung \(3x\) và cung \(12x\). Bằng cách dùng công thức hạ bậc ta đã làm tăng gấp đôi cung \(3x\); áp dụng công thức nhân đôi ta đã làm giảm 2 lần cung \(12x\) và được giống nhau ở cung \(6x\). Như vậy ta cần nhớ các đặc điểm sau khi dùng công thức nhân đôi và hạ bậc:

• Công thức hạ bậc làm tăng gấp đôi cung,
• Công thức nhân đôi làm giải 2 lần cung.

Bài tập phương trình quy về bậc hai theo một hàm số lượng giác

Bài 1. Giải các phương trình:

1. \(2\cos^2 x-\sin^2 x-4\cos x +2=0\)
2. \(\cos2x+\sin^2x+2\cos x+1=0\)
3. \(9\sin^2x-5\cos^2x-5\sin x+4=0\)
4. \(4\sin^22x+8\cos^2x-9=0\)
5. \(1-5\sin x+2\cos^2x=0\)
6. \(5-4\sin^2x-8\cos^2\dfrac{x}{2}=-4\)
7. \(\cos2x+5\sin x+2=0\)
8. \(4+\cos 2x=3\sin x\)
9. \(\cos \dfrac{x}{4}-\sqrt{8}\cos \dfrac{x}{8}=0\)
10. \(\cos \Big(2x+\dfrac{2\pi}{3}\Big)+4\sin \Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)=\dfrac{5}{2}\)
11. \(\cos^2 2x-5\sin^2 x+1=0\)
12. \(4\cos^2 6x+16\cos^2 3x=13\)
13. \((3\sqrt{2}+\sqrt{6})\sin \dfrac{x}{2}+3+\sqrt{3}=2\cos x\)