Thế nào là phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác là phương trình có thể biến đổi được về dạng at2+bt+c=0 qua một phép đặt ẩn phụ t=sinx, hoặc t=cosx, hoặc t=tanx, hoặc t=cotx. Cung x có thể là cung 2x,3x,...
Phương pháp giải phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Đầu tiên ta phải biến đổi phương trình về chung một cung. Chẳng hạn đề bài vừa có cung 2x vừa có cung x thì ta có thể dùng công thức nhân đôi để biến đổi cung 2x về cung x, hoặc có thể dùng công thức hạ bậc để biến đổi về cung chung.
Ta có thể dùng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi qua lại giữa các giá trị sin, cos, tan, cot của cùng một cung x để đặt được ẩn phụ t. Các công thức lượng giác cơ bản hay dùng là: sin2x=1−cos2x hoặc cos2x=1−sin2x cos2x1=1+tan2x sin2x1=1+tan2x
Ngoài ra ta còn dùng các công thức nhân đôi, hạ bậc biến đổi về chung một ẩn phụ để đặt ẩn phụ.
Các ví dụ có giải phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Ví dụ 1.
Giải phương trình 2sin2x−5sinx+2=0.
Lời giải. Ở đây, ta thấy đã có thể đặt ngay ẩn phụ t=sinx. Điều kiện: −1≤t≤1.
Ta được phương trình 2t2−5t+2=0⇔[t=2t=21
Ta loại t=2 và nhận t=21, từ đó ta có nghiệm ⎣⎢⎡x=6π+k2πx=67π+k2π
Ví dụ 2.
Giải phương trình −sin2x+cosx−1=0.
Lời giải. Ngoài cách đặt ẩn phụ, ta có thể giải gọn như sau mà không cần đặt t.
−sin2x+cosx−1=0 ⇔−(1−cos2x)+cosx−1=0 ⇔cos2x+cosx−2=0 ⇔[cosx=1( nhận )cosx=−2( loại ) ⇔x=k2π
Ví dụ 3.
Giải phương trình sin2x1=4cotx+3.
Lời giải.
Điều kiện: sinx=0⇔x=kπ.
Ta có: sin2x1=4cotx+2 ⇔1+cot2x=23cotx+3 ⇔cot2x−4cotx+1=0 ⇔[cotx=2−3cotx=2+3 ⇔⎣⎢⎡x=125π+kπx=12π+kπ
Giải thích thêm: Vì máy tính không có phím cot mà chỉ có phím tan nên ta sẽ nhập shif tan nhưng nhập nghịch đảo của số nhập vào. Từ cotx=2+3 ta muốn viết thành cotx=cotα. Để tìm α ta bấm máy như sau: Shif Tan 2+31 và được cung 12π.
Bình luận: Ở ví dụ này, ta thấy các cung xuất hiện trong đề bài khá khác biệt nhau là cung 3x và cung 12x. Bằng cách dùng công thức hạ bậc ta đã làm tăng gấp đôi cung 3x; áp dụng công thức nhân đôi ta đã làm giảm 2 lần cung 12x và được giống nhau ở cung 6x. Như vậy ta cần nhớ các đặc điểm sau khi dùng công thức nhân đôi và hạ bậc:
Công thức hạ bậc làm tăng gấp đôi cung,
Công thức nhân đôi làm giải 2 lần cung.
Bài tập phương trình quy về bậc hai theo một hàm số lượng giác