Cách giải phương trình lượng giác sin x = cos x

Bài viết này hướng dẫn các bạn học sinh giải phương trình lượng giác sin x = cos x. Đây là một phương trình được biến đổi về phương trình lượng giác cơ bản.

Cách giải phương trình sin x = cos x

Cách giải phương trình lượng giác \(\sin x = \cos x\) là biến đổi về phương trình lượng giác cơ bản dạng \(\sin x = \sin a\) hoặc \(\cos x = \cos a\). Việc biến đổi này sử dụng các công thức cung phụ đã học ở lớp 10 là

\(\sin a = \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)
\(\cos a = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)
\(\tan a = \cot \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)
\(\cot a = \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)

Ngoài ra, các em cần nhớ lại công thức giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha\) và \(\cos x = \cos \alpha\) là

\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right.\)
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x =-\alpha + k2\pi \end{array}\right.\)

Các ví dụ phương trình sin x = cos x

Ví dụ 1.

Giải phương trình \(\sin x = \cos x\)

Lời giải.

\(\sin x = \cos x\)
\(\Leftrightarrow \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}-x = x + k2\pi \\ \dfrac{\pi}{2}-x = -x + k2\pi \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{4}-k\pi \\ 0= -\dfrac{\pi}{2}+k\pi \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Dòng \(0= -\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) bị mất \(x\), dòng này không tìm được \(x\). Do đó, ta bỏ dòng này đi, và chỉ được một biểu thức nghiệm ở dòng trên. Vì \(k\) là một số nguyên tuỳ ý nên \(-k\) cũng là một số nguyên tuỳ ý. Do đó thay vì ghi \(x=\dfrac{\pi}{4}-k\pi\) ta có thể ghi \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\).

Cách 2. Ngoài ra, ta còn có thể dùng các công thức sau để giải phương trình trên.

\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Lời giải 2.

\(\sin x = \cos x\)
\(\Leftrightarrow \sin x -\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{4}=k\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Cách 3. Chia 2 vế cho \(\cos x\) để được phương trình theo \(\tan x\).

Lời giải 3.

\(\sin x = \cos x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}=1\)
\(\Leftrightarrow \tan x=1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Các bài toán tương tự

Ví dụ 2.

Giải phương trình \(\cos 2x = \sin x\).

Hướng dẫn. Dùng công thức cung phụ để chuyển thành 2 vế đều là sin hoặc đều là cos rồi dùng công thức phương trình lượng giác cơ bản để tìm x.

Ví dụ 3.

Giải phương trình \(\sin x - \cos x = 1.\)

Lời giải.

\(\sin x - \cos x = 1.\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}+k2\pi \\ x-\dfrac{\pi}{4} =\pi - \dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi+k2\pi \end{array}\right.\)

Bài tập phương trình lượng giác sin x = cos x

Bài 1. Giải các phương trình

  1. \(\sin x = -\cos x\)
  2. \(\cos 2x - \sin 2x=0\)
  3. \(\sin 2x = \cos x\)
  4. \(\sin 3x=-\cos 2x\)

Bài 2. Giải các phương trình

  1. \(\sin x -\cos x=\sqrt{2}\cos 2x\)
  2. \(\cos x-\sin x=-\sqrt{2}\)
  3. \(\sin^3 x+\cos^3x = \sin x+\cos x\)

Cùng chuyên mục:

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác cơ bản cho học sinh lớp 11,…

Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp

Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp

Bài viết này hướng dẫn học sinh lớp 11 giải phương trình lượng giác đẳng…

Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

Bài viết này hướng dẫn học sinh lớp 11 giải các phương trình có thể…

Cách giải phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Cách giải phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx là một dạng cơ bản quan trọng…

MỚI CẬP NHẬT
Top