Cách giải phương trình lượng giác sin x = cos x

Bài viết này hướng dẫn các bạn học sinh giải phương trình lượng giác sin x = cos x. Đây là một phương trình được biến đổi về phương trình lượng giác cơ bản.

Cách giải phương trình sin x = cos x

Cách giải phương trình lượng giác \(\sin x = \cos x\) là biến đổi về phương trình lượng giác cơ bản dạng \(\sin x = \sin a\) hoặc \(\cos x = \cos a\). Việc biến đổi này sử dụng các công thức cung phụ đã học ở lớp 10 là

\(\sin a = \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)
\(\cos a = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)
\(\tan a = \cot \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)
\(\cot a = \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\)

Ngoài ra, các em cần nhớ lại công thức giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha\) và \(\cos x = \cos \alpha\) là

\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right.\)
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha + k2\pi \\ x =-\alpha + k2\pi \end{array}\right.\)

Các ví dụ phương trình sin x = cos x

Ví dụ 1.

Giải phương trình \(\sin x = \cos x\)

Lời giải.

\(\sin x = \cos x\)
\(\Leftrightarrow \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}-x = x + k2\pi \\ \dfrac{\pi}{2}-x = -x + k2\pi \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{4}-k\pi \\ 0= -\dfrac{\pi}{2}+k\pi \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Dòng \(0= -\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) bị mất \(x\), dòng này không tìm được \(x\). Do đó, ta bỏ dòng này đi, và chỉ được một biểu thức nghiệm ở dòng trên. Vì \(k\) là một số nguyên tuỳ ý nên \(-k\) cũng là một số nguyên tuỳ ý. Do đó thay vì ghi \(x=\dfrac{\pi}{4}-k\pi\) ta có thể ghi \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\).

Cách 2. Ngoài ra, ta còn có thể dùng các công thức sau để giải phương trình trên.

\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Lời giải 2.

\(\sin x = \cos x\)
\(\Leftrightarrow \sin x -\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{4}=k\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Cách 3. Chia 2 vế cho \(\cos x\) để được phương trình theo \(\tan x\).

Lời giải 3.

\(\sin x = \cos x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}=1\)
\(\Leftrightarrow \tan x=1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Các bài toán tương tự

Ví dụ 2.

Giải phương trình \(\cos 2x = \sin x\).

Hướng dẫn. Dùng công thức cung phụ để chuyển thành 2 vế đều là sin hoặc đều là cos rồi dùng công thức phương trình lượng giác cơ bản để tìm x.

Ví dụ 3.

Giải phương trình \(\sin x - \cos x = 1.\)

Lời giải.

\(\sin x - \cos x = 1.\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}+k2\pi \\ x-\dfrac{\pi}{4} =\pi - \dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi+k2\pi \end{array}\right.\)

Bài tập phương trình lượng giác sin x = cos x

Bài 1. Giải các phương trình

1. \(\sin x = -\cos x\)
2. \(\cos 2x - \sin 2x=0\)
3. \(\sin 2x = \cos x\)
4. \(\sin 3x=-\cos 2x\)

Bài 2. Giải các phương trình

1. \(\sin x -\cos x=\sqrt{2}\cos 2x\)
2. \(\cos x-\sin x=-\sqrt{2}\)
3. \(\sin^3 x+\cos^3x = \sin x+\cos x\)