Phân thức đại số, lý thuyết và tổng hợp bài tập liên quan

Các kiến thức cơ bản cần nắm vững để học tốt phân thức đại số. Thực hành cùng các bài tập thường gặp kèm lời giải cho các em tham khảo.

Phân thức đại số là một nội dung cơ bản trong chương trình Toán học lớp 8 mà các em cần nắm vững. Bài viết sau đây sẽ ôn tập lại các kiến thức lý thuyết và thực hành cùng các bài tập liên quan. Hãy cùng thayphu theo dõi ngay nhé!

Lý thuyết phân thức đại số

Kiến thức và bài tập liên quan đến phân thức đại số

Phân thức đại số hay còn gọi là phân thức là một biểu thức có dạng P/Q. Trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0. P là tử thức (hay tử) và Q là mẫu thức (hay mẫu).

Ví dụ: (2x + 3)/ (x - 1) được gọi là một phân thức đại số vì 2x + 3 và x - 1 là các đa thức và đa thức x - 1 khác đa thức 0.

(2/x) / (x+1) không phải là một phân thức đại số vì biểu thức 2/x không phải là đa thức.

Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là 1 phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là 1 phân thức.

Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức A/B và C/D được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C, viết là A/B = C/D

Ví dụ: (x+2) / (2x+4) = ½ vì (x+2).2 = 2x + 4 và (2x+4).1 = 2x+4 nên (x+2).2 = (2x+4).1

Tính chất cơ bản của phân thức

Tính chất 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của 1 phân thức với cùng 1 đa thức khác đa thức 0 thì được 1 phân thức bằng phân thức đã cho.

P/Q = P.M/ Q.M với M là một đa thức khác đa thức 0.

Tính chất 2: Nếu chia cả tử và mẫu của 1 đa thức cho 1 nhân tử chung của chúng thì được 1 phân thức bằng phân thức đã cho.

P/Q = P:N / Q:N với N là 1 nhân tử chung của P và Q.

Ví dụ minh họa:

x/(x+2) = (x.3x)/(x+2).3x = 3x^2 /(3x^2+6x)

= 20x^3 / 4x(x-1) = (20x^3 : 4x) / 4x(x-1) : 4x = 5x^2 / (x-1)

Ứng dụng rút gọn phân thức

Khi chia cả tử và mẫu của 1 phân thức cho 1 nhân tử chung của chúng ta được phân thức mới đơn giản hơn. Cách làm đó được gọi là rút gọn phân thức.

Rút gọn các phân thức đại số

Muốn rút gọn 1 phân thức ta thực hiện như sau:

• Đầu tiên là phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)
• Tiếp đó là tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ minh họa:

(x^2 + 3x) / (x^2 + 6x + 9) = x(x+3) / (x+3)^2 = x/(x+3)

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Khi biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới bằng chúng và có cùng mẫu thức thì được gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

Nhận xét:

• Mẫu thức chung chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
• Muốn quy đồng mẫu thành nhiều phân thức ta thực hiện như sau:
  • Đầu tiên là phân tích các mẫu thức thành nhiều nhân tử (nếu cần) rồi tìm mẫu thức chung.
  • Tiếp đó tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia mẫu thức chung cho từng mẫu.
  • Cuối cùng nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ minh họa:

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 1/(4x+6); 3/(4x-6); 2/(4x^2 - 9)

Ta có: 4x + 6 = 2(2x + 3)

4x - 6 = 2(2x - 3)

4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)

Chọn mẫu thức chung là 2(2x + 3)(2x - 3)

Vậy 1/(4x+6) = 1/ 2(2x+3) = (2x - 3) / 2(2x - 3)(2x + 3)

3/(4x-6) = 3/ 2(2x - 3) = 3(2x+3) / 2(2x - 3)(2x + 3)

2/(4x^2 - 9) = 2 / (2x+3)(2x+3) = 4 / 2(2x - 3)(2x + 3)

Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

• Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phân thức.
• Cho phân thức P/Q, giá trị của biểu thức P/Q tại những giá trị cho trước của các biến sao cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức P/Q tại những giá trị cho trước của các biến đó.

Nhận xét: Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của 1 phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng 1 giá trị.

Bài tập về phân thức đại số

Các dạng bài tập chủ đề phân thức đại số

Bài tập 1

Rút gọn các phân thức sau:

1. 36xy^2 / 16x^2y^3
2. 6x-3y / 4x^2 - y^2

Cách giải:

1. 36xy^2 / 16x^2y^3 = 9.4xy^2 / 14xy.4xy^2 = 9/4xy
2. 6x-3y / 4x^2 - y^2 = 3(2x-y) / (2x-y)(2x+y) = 3/(2x+y)

Bài tập 2

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong các trường hợp sau:

1. 3/ (x+2y) và -1/(x-2y)
2. 2/(x+4) và 2/(x^2 - 16)

Cách giải:

1. Ta có mẫu thức chung là (x+2y)(x-2y)

3/ (x+2y) = 3.(x-2y) /(x+2y)(x-2y) = (3x-6y)(x^2- 4y^2)

-1/(x-2y) = 3/ (x+2y) = -1.(x+2y)/ (x-2y)(x+2y) = -x+2y / x^2-4y^2

2. Ta có x^2 - 16 = (x-4)(x+4)

Chọn mẫu thức chung là (x-4)(x+4)

2/(x+4) = 2(x-4) / (x+4)(x-4) = (2x-8) / (x^2 -16); 2 / (x^2 -16)

Bài tập 3

Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

1. 2x / (5x+5)
2. 7x / (y^2 + 4)
3. (x-1)/(x+1)
4. (x+y)(x-y)

Cách giải:

1. Điều kiện xác định của phân thức 2x / (5x+5) là 5x+5 khác 0 hay 5x khác -5 hay x khác -1.
2. Điều kiện xác định của phân thức 7x / (y^2+4) là y^2 +4 khác 0 (luôn đúng vì y^2+4 > 0 với mọi y.
3. Điều kiện xác định của phân thức (x-1) / (x+1) là x+1 khác 0 hay x khác -1.
4. Điều kiện xác định của phân thức (x+y) / (x-y) là x-y khác 0 hay x khác y.

Bài viết trên đây vừa trình bày chi tiết về lý thuyết và các bài tập phân thức đại số. Hy vọng các thông tin này hữu ích và mang tới cho các em giây phút học tập hiệu quả. Đừng quên theo dõi kênh thường xuyên để cập nhật các bài học mới nhất nhé!