Hằng đẳng thức là gì? Quy tắc, công thức và bài tập áp dụng

Hằng đẳng thức là một khái niệm trong toán học và logic, mô tả một cấu trúc hình thức mà chúng có thể được phân tích và chứng minh.

Trong toán học và logic, nó là một khái niệm quan trọng và phổ biến. Chúng đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh và suy luận, đồng thời cung cấp các quy tắc và quy định về sự tương đương giữa các biểu thức toán học. Từ việc giải các phương trình đơn giản đến nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết và giải tích số, hằng số là một công cụ không thể thiếu.

Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng thayphu khám phá những khía cạnh cơ bản của chúng, từ khái niệm đơn giản nhất đến những ứng dụng phức tạp hơn.

Hằng đẳng thức được định nghĩa như thế nào?

Khái niệm

Nó là một quy tắc hoặc phép biến đổi thể hiện sự tương đương giữa hai biểu thức toán học. Khi hai biểu thức được coi là tương đương, điều đó có nghĩa là chúng đại diện cho cùng một giá trị và có thể thay thế cho nhau trong các phép tính mà không làm thay đổi kết quả. Nó thường được biểu diễn dưới dạng biểu thức bên trái = biểu thức bên phải.

Ví dụ, những phương trình đơn giản như: 2 + 3 = 5 hay a + b = b + a là những quy luật mà chúng ta thường gặp trong toán học.

Chúng có thể được chứng minh thông qua các quy tắc và phép biến đổi hợp lệ.Những phép biến đổi này có thể bao gồm việc áp dụng luật phân phối, kết hợp các phần tử tương tự, thay thế các biến bằng giá trị tương đương và nhiều quy tắc khác.

Dấu hiệu nhận biết hằng đẳng thức đáng nhớ

Khi làm việc với các phương trình, có một số dấu hiệu quan trọng cho biết hai biểu thức có tương đương hay không. Dưới đây là một số dấu hiệu nhận biết chúng:

• Kiểm tra với các giá trị cụ thể: Cách đơn giản để kiểm tra tính đúng đắn của chúng là kiểm tra với một số giá trị cụ thể của biến.
• Luật phân phối: Nếu một biểu thức có thể được phân phối bởi một phép toán khác mà không làm thay đổi giá trị của nó
• Định luật tổng hợp và phân tách: Nếu các phần tử tương tự trong một biểu thức có thể được kết hợp hoặc phân tách một cách có ý nghĩa mà không làm thay đổi giá trị của chúng thì biểu thức kết hợp hoặc phân tách có thể tương đương với biểu thức ban đầu.
• Định luật chuyển đổi: Trong một số trường hợp, việc thay đổi vị trí của các phép tính hoặc thành phần trong biểu thức không làm thay đổi kết quả của biểu thức đó.
• Định luật đối xứng và phản đối xứng: Nếu biểu thức bên trái và biểu thức bên phải chỉ khác nhau về cách sắp xếp các thành phần
• Định luật thay thế: Nếu có thể thay thế một biến hoặc biểu thức bằng một giá trị tương đương mà không làm thay đổi kết quả của biểu thức

Những quy tắc hằng đáng nhớ trong toán học

Dưới đây là một số quy tắc quan trọng về chúng trong toán học:

Quy tắc cộng và trừ:

• Quy tắc cộng: a + b = b + a (tính giao hoán)
• Quy tắc trừ: a - b = -(b - a) (tính giao hoán)

Quy tắc nhân:

• Quy tắc nhân: a * b = b * a (tính giao hoán)
• Quy tắc phân phối: a * (b + c) = a * b + a * c

Quy tắc chia:

• Quy tắc chia: a / b = a * (1/b) (trong đó b khác 0)
• Quy tắc đảo ngược: a / (1/b) = a * b (trong đó b khác 0)

Quy tắc mũ:

• Quy tắc mũ của mũ: (a^b)^c = a^(b * c)
• Quy tắc nhân mũ: a^m * a^n = a^(m + n)
• Quy tắc chia mũ: a^m / a^n = a^(m - n)
• Quy tắc mũ của một số tự nhiên: (a * b)^n = a^n * b^n

Quy tắc căn:

• Quy tắc căn bậc hai: √(a * b) = √a * √b
• Quy tắc căn bậc hai: √(a / b) = √a / √b (trong đó a, b > 0)
• Quy tắc căn bậc n: (a^n)^(1/n) = a

Các quy tắc khác:

• Quy tắc đảo ngược: a = b thì b = a
• Quy tắc phân phối (với đa thức): a * (b + c) = a * b + a * c
• Quy tắc phân phối (với căn bậc hai): √(a + b) ≠ √a + √b (phép toán này không giao hoán)

Công thức hằng đẳng thức giúp bài toán bạn gọn hơn

Dưới đây là một số hẳng trong toán học:

Hằng cơ bản

• Luật gộp và phân tách: a + b = b + a và a * b = b * a.
• Luật kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) và (a * b) * c = a * (b * c).
• Luật phân phối: a * (b + c) = a * b + a * c.

Hằng liên quan đến số học

• Luật cộng và luật nhân của số 0: a + 0 = a và a * 0 = 0.
• Luật đối ngẫu: a + (-a) = 0.
• Luật nghịch đảo: a * (1/a) = 1 (với a khác 0).

Hằng liên quan đến đa thức

• Công thức nhân đôi: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• Công thức khai triển đa thức: (a + b)^n = C(n, 0)*a^n + C(n, 1)*a^(n-1)*b + ... + C(n, n)*b^n (với C(n, k) là tổ hợp chập k của n).

Hằng trong hình học

• Định lí Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2 (trong tam giác vuông).
• Công thức diện tích tam giác: Diện tích = 1/2 * cạnh đáy * chiều cao.

Hằng trong phép tính

Công thức Euler: e^(i*pi) + 1 = 0 (liên quan đến số e, số pi và đơn vị ảo i).

7 phép hằng đáng nhớ trong toán số ngày nay

7 hằng đáng nhớ trong toán học

Những hằng đẳng thức bậc 3 và nâng cao

Dưới đây là một số hằng bậc 3 và nâng cao trong toán học:

Định lý Viet

Với một phương trình bậc 3 dạng x^3 + px^2 + qx + r = 0, ta có:

• Tổng các nghiệm: x1 + x2 + x3 = -p.
• Tích hai nghiệm đầu tiên: x1x2 + x1x3 + x2x3 = q.
• Tích ba nghiệm: x1x2x3 = -r.

Định lí Cardano-Tartaglia

Cho phương trình bậc 3 dạng x^3 + px^2 + qx + r = 0, ta có công thức nghiệm:

Nếu ∆ > 0 (phương trình có 3 nghiệm thực):

• x1 = cuberoot((-q/2) + sqrt(∆)) + cuberoot((-q/2) - sqrt(∆)) - p/3.
• Nếu ∆ = 0 (phương trình có ít nhất 1 nghiệm thực và 2 nghiệm kép):
• x1 = -p/3 + 2*cuberoot(-q/2) và x2 = x3 = -cuberoot(-q/2) - p/3.

Nếu ∆ < 0 (phương trình có 1 nghiệm thực và 2 nghiệm ảo):

• x1=2*sqrt(-p/3)*cos(theta/3) - p/3, x2
• = 2*sqrt(-p/3)*cos((theta + 2*pi)/3) - p/3, và x3
• = 2*sqrt(-p/3)*cos((theta + 4*pi)/3) - p/3, trong đó
• ∆= (q^2/4) + (p^3/27), và theta là góc cos^-1(-q/(2*sqrt(-p^3/27))).

Định lý Bezout

Cho hai đa thức P(x) và Q(x). Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, thì phương trình P(x) = Q(x) mod (a) có nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình P(x) = Q(x) mod (b) có nghiệm.

Định lý Eisenstein

Cho một đa thức P(x) có hệ số nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không chia hết cho các hệ số ngoại trừ hệ số cùng với số hạng bậc cao nhất, và p^2 không chia hết cho hệ số tự do, thì P(x) không có nghiệm nguyên.

Định lý Abel-Ruffini

Không tồn tại một công thức tổng quát để giải phương trình bậc 5 (và cao hơn) bằng các phép toán cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép toán căn bậc n.

Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Hãy chọn đáp án đúng cho hằng sau:(a + b)^2 = ?

A) a^2 + b^2

B) a^2 + 2ab + b^2

C) a^2 - 2ab + b^2

D) a^2 - b^2

Đáp án: B) a^2 + 2ab + b^2

Bài tập 2:

Hãy chọn đáp án đúng cho hằng sau: (a - b)^2 = ?

A) a^2 + b^2

B) a^2 + 2ab + b^2

C) a^2 - 2ab + b^2

D) a^2 - b^2

Đáp án: C) a^2 - 2ab + b^2

Bài tập 3: Hãy chọn đáp án đúng cho hằng sau: a^2 - b^2 = ?

A) (a + b)^2

B) (a - b)^2

C) (a + b)(a - b)

D) a^2 + b^2

Đáp án: C) (a + b)(a - b)

Bài tập 4: Hãy chọn đáp án đúng cho hằng đẳng thức sau: (a + b)^3 = ?

A) a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

B) a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

C) a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3

D) a^3 - b^3

Đáp án: A) a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Bài tập 5:

Hãy chọn đáp án đúng cho hằng sau: (a - b)^3 = ?

A) a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

B) a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

C) a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3

D) a^3 - b^3

Đáp án: B) a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Bài tập 6:

Hãy chọn đáp án đúng cho hằng sau: a^3 - b^3 = ?

A) (a + b)^3

B) (a - b)^3

C) (a + b)(a^2 - ab + b^2)

D) a^3 + b^3

Đáp án: C) (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Kết luận

Trên đây là những thông tin về những hằng này hi vọng những thông tin này đã giúp bạn làm quen và nắm vững một số quy tắc cơ bản trong toán học. Nó là một phần quan trọng trong việc rút gọn và biểu diễn các biểu thức toán học một cách hiệu quả. Bằng cách sử dụng những quy tắc này, bạn có thể thực hiện các phép tính một cách nhanh chóng và chính xác hơn.