Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa

• Đường thẳng \(\Delta\) vừa cắt vừa vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\).
• Giả sử \(\Delta\) cắt \(a\) và \(b\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Đoạn thẳng \(MN\) gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\).
• Độ dài đoạn thẳng \(MN\) gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\).

Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

Trong trường hợp tổng quát, ta thực hiện dựng như sau:

• Dựng mặt phẳng \((\alpha)\) chứa \(b\) thoả \((\alpha)\) song song với \(a\),
• Tìm hình chiếu vuông góc \(a'\) của \(a\) trên \((\alpha)\),
• Tìm giao điểm \(N\) của \(a'\) và \(b\), dựng đường thẳng \(\Delta\) qua \(N\) và vuông góc với \((\alpha)\) cắt \(a\) tại \(M\). Đoạn \(MN\) chính là đoạn vuông góc chung của \(a\) và \(b\).

Nhận xét. Nếu lấy điểm \(I\) tuỳ ý trên \(a\) thì khoảng cách từ \(I\) đến \((\alpha)\) bằng độ dài đoạn vuông góc chung \(MN\) (vì theo hình vẽ \(MNHI\) là hình chữ nhật). Từ đó rút ra phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần dựng đoạn vuông góc chung của chúng như dưới đây.

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

• Chọn mặt phẳng \((\alpha)\) chứa \(b\) và song song với \(a\),
• Chọn một điểm \(I\) phù hợp trên \(a\) rồi tính khoảng cách từ \(I\) đến \((\alpha)\).

Nhận xét.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng chứa đường thẳng kia song song với đường thẳng còn lại.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong trường hợp đặc biệt

Trong trường hợp đặc biệt \(a\) và \(b\) chéo nhau và vuông góc với nhau, khi đó thường tồn tại một mặt phẳng \((\alpha)\) chứa \(a\) và vuông góc với \(b\). Để tính khoảng cách giữa \(a\) và \(b\) ta dựng đoạn vuông góc chung như sau:

• Tìm giao điểm \(H\) của \(b\) và \((\alpha)\),
• Trong \((\alpha)\), vẽ \(HK\) vuông góc với \(a\) tại \(H\). khi đó \(HK\) là đoạn vuông góc chung.