Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Mệnh đề. Cho hai mặt phẳng song song \((\alpha)\) và \((\beta)\), khoảng cách từ một điểm \(A\) tuỳ ý trên \((\alpha)\) đến mặt phẳng \((\beta)\) là không đổi.

Chứng minh. Lấy thêm điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\) (khác \(A\)). Gọi \(H, K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của  \(A, B\) lên \((\beta)\). Ta sẽ chứng minh \(AH=BK.\) Thật vậy, \(AH\parallel BK\) (vì cùng vuông góc với \((\beta)).\) Gọi \((\gamma)\) là mặt phẳng đi qua 4 điểm \(A, B, K, H.\) Ta có \((\gamma)\) cắt hai mặt phẳng song song \((\alpha)\) và \((\beta)\) theo 2 giao tuyến \(AB, HK.\) Theo định lý về một mặt phẳng cắt 2 mặt phẳng song song ta có \(AB\parallel HK.\) Suy ra tứ giác \(ABKH\) là hình bình hành. Suy ra \(AH=BK\). Vậy khoảng cách từ một điểm tuỳ ý thuộc \((\alpha)\) đến \((\beta)\) là không đổi.

Định nghĩa. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm tuỳ ý thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.