Biến đổi asinx + bcosx về một giá trị lượng giác

Biểu thức \(a\sin x+b\cos x\) gây khó khăn cho ta trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, giải phương trình asinx + bcos x = c. Việc biến đổi biểu thức này về một giá trị lượng giác sẽ giúp ta giải quyết 2 vấn đề trên.

Ta xét biểu thức cụ thể đầu tiên:

\[\begin{array}{ll}A&=\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\\&=\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\sin\frac{\pi}{3}\cos x\\&=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\end{array}\]

Chú ý: Ta đã dùng công thức cộng: \(\sin a\cos b+\cos a\sin b=\sin(a+b).\)

Biểu thức thứ hai:

\[\begin{array}{ll}B&=\sin x-\sqrt{3}\cos x\\&=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\\&=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin x-\sin\frac{\pi}{3}\cos x\right)\\&=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\end{array}\]

Để ý rằng ta đã rút nhân tử 2 chính là \(2=\sqrt{1^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{a^2+b^2}.\)

Tổng quát:

\[\begin{array}{ll}P&=a\sin x+b\cos x\\&=\sqrt{a^2+b^2}.\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)\\&=\sqrt{a^2+b^2}.\Big(\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x\Big)\\&=\sqrt{a^2+b^2}.\sin\left(x+\alpha\right)\end{array}\]

Chú ý rằng theo công thức lượng giác cơ bản thì \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\) Hai số \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) và \(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) có tổng bình phương bằng 1 nên ta có thể đặt 2 giá trị này lần lượt là \(\cos\alpha\) và \(\sin\alpha.\) Vậy ta có công thức:

\[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}.\sin(x+\alpha)\]

Xem tiếp:

• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác
• Phương trình asinx + bcosx = c