Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

1. \(y=2\sin 2x-3\)
2. \(y=1-3\cos^2x\)
3. \(y=\sqrt{4-\cos x}\)
4. \(y=1-2\sqrt{2-\sin^23x}\)
5. \(y=\sin^2x+3\cos^2x\)
6. \(y=\sqrt{\sin^2x+2\cos^2x}\)
7. \(y=\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\)
8. \(y=\sin x+\cos x\)
9. \(y=\sin x-\sqrt{3}\cos x-2\)
10. \(y=3\sin 2x-4\cos 2x+1\)
11. \(y=\sin^2x-2\sin x\cos x+3\cos^2x\)
12. \(y=-8\sin^2x+6\sin x\cos x\)

Hướng dẫn:

• Các câu 1, 2, 3, 4 đánh giá bình thường sử dụng tính bị chặn 2 đầu của \(\sin x\) và \(\cos x\), nghĩa là \(-1\le\sin x,\cos x\le1.\) Hơn nữa \(0\le\cos^2x, \sin^2x\le 1.\)
• Câu 5, 6 thay \(\sin^2x=1-\cos^2x\) rồi đánh giá như các câu trước.
• Câu 8 dùng công thức thường dùng có sinx + cosx. Ta có \(\sin x\pm\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x\pm\dfrac{\pi}{4}\right).\)
• Câu 9, 10 dùng công thức biến đổi asinx + bcosx về một hàm số lượng giác.
• Câu 10 hạ bậc \(\sin^2x, \cos^2x\) và đưa \(2\sin x\cos x=\sin 2x\) rồi áp dụng kĩ thuật của câu 9, 10.