Phương trình asinx + bcosx = c

Cho phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\), trong đó \(a,b,c\in\mathbb{R}\), \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\). Để giải phương trình này, ta chia 2 vế cho \(\sqrt{a^2+b^2}\) rồi áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản dạng \[\sin(x+\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Xem thêm: Biến đổi asinx + bcosx về một giá trị lượng giác.

Ví dụ 1. Giải phương trình \(\cos x-\sqrt{3}\sin x=-2.\)

Giải.

\[\begin{array}{ll}&\cos x-\sqrt{3}\sin x=-2\\ \Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x=-1\\ \Leftrightarrow&\sin\dfrac{\pi}{6}\cos x-\cos\dfrac{\pi}{6}\sin x=-1\\ \Leftrightarrow&\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)=-1\\ \Leftrightarrow&\dfrac{\pi}{6}-x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\ \Leftrightarrow&x=\dfrac{2\pi}{3}-k2\pi\quad (k\in\mathbb{Z})\end{array}\]

Ví dụ 2. Giải phương trình \(3\sin x+4\cos x=2.\)

Giải.

\[\begin{array}{ll}&3\sin x+4\cos x=2\\ \Leftrightarrow&\dfrac{3}{5}\sin x+\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow&\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x=\dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow&\sin\left(x+\alpha\right)=\dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=-\alpha+\arcsin\frac{2}{5}+k2\pi\\ x=-\alpha+\pi-\arcsin\frac{2}{5}+k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in\mathbb{Z})\end{array}\]

Trong đó \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}, \sin\alpha=\dfrac{4}{5}.\)

Bài 1. Giải các phương trình sau