Tìm toạ độ một điểm thuộc đường thẳng cách điểm cho trước một khoảng đã biết [Oxy:1]

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) tìm toạ độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d: 2x-y+3=0\) cách điểm \(A(3;-2)\) một khoảng bằng \(5.\)

Giải. Từ phương trình tổng quát của \(d: 2x-y+3=0\), đặt \(x=t\) thì ta được \(y=2t+3\). Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=2t+3\end{array}\right..\) Vì \(M\in d\) nên ta có toạ độ \(M\) có dạng \(M(t;2t+3).\) Theo giả thiết (áp dụng công thức độ dài đoạn thẳng nối hai điểm) \[\begin{array}{ll}&AM=5\\ \Leftrightarrow&\sqrt{(t-3)^2+(2t+3+2)^2}=5\\ \Leftrightarrow&(t-3)^2+(2t+5)^2=25\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}t=-1\\t=-\frac{9}{5}\end{array}\right.\end{array}\]

Vậy \(M(-1;1)\) hoặc \(M(-\frac{9}{5};-\frac{3}{5}).\)

Chú ý. Ta có thể bỏ qua bước chuyển phương trình tổng quát của \(d\) thành phương trình tham số khi gọi toạ độ điểm \(M\) theo \(t.\)

Ví dụ 2. Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) biết \(A(-6;5)\) và 2 điểm \(B, C\) thuộc đường thẳng \(\Delta: x-2y+11=0.\) Tìm toạ độ của các đỉnh \(B\) và \(C.\)

Hướng dẫn. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\) thì ta tính được độ dài đoạn \(AH\) chính là khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta.\) Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên đường cao \(AH\) cũng là trung tuyến và phân giác nên \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}=45^\circ\). Từ đó tính được \(AB\) và \(AC\) (sử dụng \(\cos45^\circ\)). Gọi toạ độ của \(B\) thuộc \(\Delta\) theo \(t\) rồi dùng độ dài đoạn \(AB\) đã biết để tìm \(t\). Điểm \(B\) và \(C\) có thể đổi kết quả cho nhau.

Giải. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta\) ta có \(AH=\mathrm{d}(A;\Delta)=\dfrac{|-6-10+11|}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.\) Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên đường cao \(AH\) cũng là trung tuyến và phân giác nên \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}=45^\circ\). Từ \(\cos45^\circ=\dfrac{AH}{AB}\) suy ra \(AB=\dfrac{AH}{\cos45^\circ}=\sqrt{10}.\) Vì \(B\) thuộc \(\Delta\) nên \(B(2t-11;t)\). Từ \(AB=\sqrt{10}\) ta được \((2t-5)^2+(t-5)^2=10.\) Tìm được \(t=2\) hoặc \(t=4\). Vậy \(B(-7;2)\), \(C(-3;4)\) hoặc \(B(-3;4)\), \(C(-7;2).\)

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ \(Oxy\), cho tam giác đều \(ABC\) biết \(A\left(2\sqrt{3};0\right)\) và đường thẳng \(BC\) có phương trình \(\sqrt{3}.x-y=0\). Tìm toạ độ của các đỉnh \(B\) và \(C\) biết hoành độ của \(B\) lớn hơn hoành độ của \(C.\)

Ví dụ 4. Cho hình thoi \(ABCD\) có \(A(0;-2)\), \(\widehat{ABD}=120^\circ\) và đường chéo \(BD\) có phương trình \(y=\sqrt{3}x+1.\) Tìm toạ độ các đỉnh \(B, C, D\) biết tung độ của \(B\) lớn hơn tung độ của \(D\).