Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ mở đầu. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M_0(2;3)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(5;-1)\) làm một vectơ pháp tuyến. Tìm một điều kiện đối với \(x\) và \(y\) để điểm \(M(x;y)\) thuộc đường thẳng \(d.\)

Bài toán. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) qua \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(A;B)\ne\overrightarrow{0}\) làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điểm \(M(x;y)\) thuộc đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi \(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.\)

Chứng minh. Điểm \(M(x;y)\) thuộc đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{M_0M}\) và \(\overrightarrow{u}\) vuông góc. Khi đó
\[\begin{array}{ll}&\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0M}=0\\ \Leftrightarrow &A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\end{array}\]
Chú ý. Phương trình trên khi khai triển sẽ có dạng \(Ax+By+C=0.\)

Định nghĩa. Phương trình dạng \(Ax+By+C=0\) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, với điều kiện \(A\) và \(B\) không đồng thời bằng \(0\).

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A(1;-2),\) \(B(3;-1),\) \(C(4;-3).\)

1. Chứng minh 3 điểm \(A, B, C\) tạo thành tam giác.
2. Viết phương trình tổng quát các đường thẳng \(AB, BC.\)
3. Viết phương trình tổng quát của các đường cao đi qua \(A, B\) của tam giác \(ABC.\)
4. Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)