Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) qua \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(a;b)\ne\overrightarrow{0}\) làm vectơ chỉ phương. Điểm \(M(x;y)\) thuộc đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{M_0M}\) và \(\overrightarrow{u}\) cùng phương. Khi đó tồn tại số thực \(t\) sao cho
\[\begin{array}{ll}&\overrightarrow{M_0M}=t.\overrightarrow{u}\\ \Leftrightarrow &\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.\end{array}\]
Hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.\) gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(d\).

Ví dụ 1. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(M_0(-1;2)\), nhận \(\overrightarrow{u}=(3;4)\) làm một vectơ chỉ phương là \[\left\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=2+4t\end{array}\right.\]

Ví dụ 2. Mỗi điểm \(M(-3;-1), N(5;10)\) có thuộc đường thẳng \(d\) có phương trình tham số sau không? \[\left\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=2+4t\end{array}\right.\]

Giải. Giả sử \(M\) thuộc \(d\), ta có \[\left\{\begin{array}{l}-3=-1+3t\\ -1=2+4t\end{array}\right.\Leftrightarrow\begin{cases}t=-\frac{2}{3}\\t=-\frac{3}{4}\end{cases}\]

Đều trên vô lí, vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d.\)

Kiểm tra tương tự ta có điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(d.\)

BÀI TẬP

Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A(1;-2)\), \(B(4;0).\)

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) biết \(d\) qua \(M(3;-1)\) và có hệ số góc \(k=-3.\)