Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Mệnh đề. Nếu đường thẳng \(\Delta\) có hệ số góc \(k\) thì nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\) Ngược lại nếu đường thẳng \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(a;b)\) (với \(a\ne0\)) thì nó có hệ số góc là \(k=\dfrac{b}{a}.\)

Chứng minh. 1. Cho đường thẳng \(\Delta: y=kx+m\) có hệ số góc là \(k.\) Ta có \(y=kx+m\Leftrightarrow kx-y+m=0\) nên \(\Delta\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(k;-1).\) Từ đó suy ra đường thẳng \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\)

2. Cho đường thẳng \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(a;b)\) (với \(a\ne0\)). Suy ra nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(b;-a).\) Phương trình tổng quát của \(\Delta\) có dạng \(bx-ay+c=0\Leftrightarrow y=\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}.\) Từ đó suy ra hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=\dfrac{b}{a}.\)